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Abschnitt VIII. Capitel III. § 11. 
gebung eines Verzweigimgspunktes gebildet werde. Wir 
haben bis jetzt nur Cofunctionen von Potenzreihen, welche 
nach ganzen positiven Potenzen fortschreiten, behandelt; indess 
sind aber die Fundamentalsätze, die als Grundlage zur Theorie 
der Cofunctionen genommen wurden, an jene Beschränkung 
durchaus nicht gebunden, sondern es gelten dieselben, wie 
wir bald sehen werden, auch für Reihen mit positiven und 
negativen ganzen Potenzen sowohl, als auch für Reihen mit 
gebrochenen Exponenten. Und diese völlige Unabhängigkeit 
jener identischen Fundamentalsätze von der eigentlichen ander 
weitigen Beschaffenheit sowohl der Coefficienten als auch zum 
Theil der Exponenten der Reihen, wofern die Reihen über 
haupt convergent sind, lässt es, glaube ich, erwarten, dass 
diese Fundamentalsätze wirklich eine Grundlage zu einer 
Theorie zu bilden fähig sind; und dieses um so mehr, seit 
dem in der neueren Zeit (insbesondere durch Weierstrass) 
die Potenzreihen bekanntlich als Grundlage zur Theorie der 
analytischen Functionen überhaupt aufgefasst worden sind. 
Diese Behauptung bewahrheitet sich nun deshalb zu aller 
erst in Bezug auf algebraische Functionen, weil jene Funda 
mentalsätze die symmetrischen Functionen der Cofunctionen 
betreffen. Weil aber die Wurzeln algebraischer Functionen 
auch Potenzreihen mit negativen oder gebrochenen Exponen 
ten sein können, so müssen wir zuerst nachweisen, dass die 
Gesetze der Cofunctionen auch auf diesem Gebiete ebenso wie 
bisher gelten, wenn wir sie als Ausgangspunkt nehmen sollen. 
Dieses soll im Folgenden angebahnt werden. 
Was nun die Gültigkeit für Reihen mit negativen, aber 
ganzen Exponenten betrifft, so ist diese selbstverständlich, 
da der Ausgangspunkt für jene Gesetze der bekannte Satz 
war, dass die Summe gleich hoher Jc let Potenzen der w ten 
Einheitswurzeln, s*, nur zwei mögliche Werthe annehmen 
kann, entweder n oder Null, je nachdem h durch n theilbar 
ist oder nicht. Weil aber dieser Satz auch für negative Je 
besteht, so ist dann alles Weitere, welches nur eine Reihe 
von Folgerungen aus jenem Satze bildet, auch für Reihen 
mit negativen Exponenten in dem Gebiete, wo sie brauchbar 
sind, gültig. Wir wenden uns nun zu den Reihen mit ge 
brochenen Exponenten und wollen nachweisen, dass dieselben