Abschnitt VIII. Capitel III. § 11.
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Eine nähere Bestimmung kann man für die Lösung die
ser Aufgabe dadurch herbeiführen, dass man verlangt, dass
unter den Coefficienten jeder der übrigen Partialfunctionen
ein Gesetz herrschen soll, welches mit dem Gesetze, das
unter den Coefficienten der gegebenen j tea Partialfunction
herrscht, in gewissem, gegebenem, Zusammenhänge steht.
Ein specieller Fall davon würde folgender sein. Gesetzt es
bestehe unter beliebigen h -f- 1 aufeinander folgenden Coeffi
cienten
Upm+j j 0/() * * * > U(p m+j
das Gesetz, welches die Bedingungsgleichung
7 ) % (cipmJ-j , , ' ' • , Ct(p-\-k)m+j) = 0
für beliebige ganzzahlige p befriedigt, so soll verlangt wer
den, dass unter den Coefficienten der übrigen m — 1 Partial
functionen dasselbe Gesetz stattfände, d. h. es soll die Glei
chung (7) auch befriedigt werden, wenn man j irgend einen
ganzzahligen Werth zwischen 0 und m — 1 annehmen lässt.
Würde nun 7) eine i-deutige Function sein, so würde man
1 verschiedene Functionen if) (x) finden, welche die Aufgabe
lösen; wir wollen sie {particuläre Totalfunctionen von f m ,j (%),
die betreffende Operation Totalisiren, im Gegensatz zum Par-
tialisiren, nennen.
d) So lange nun die gegebene Function eben eine solche
Partialfunction schon ist, wie wir eben verlangen, dass sie
aus (x) werde, d. h. so lange n — m\ i —j, wird die ge
suchte Totalfunction natürlich eine Reihe mit ganzen posi
tiven Exponenten sein, wenn die gegebene Partialfunction
eine solche ist. Anders kann es im allgemeinen Fall, wo
n s: m und isj ist, werden. Nehmen wir zunächst an, es
sei n = 1; i = 0; es ist also
f( x ) = a o + a \ x + a 2 x 2 + a s x 3 + •■• + % xp -f- • • •
gegeben, für welche Function die Gleichung 7) durch a p ,
Op+i, • • •, Op+fc befriedigt wird, und es werde ihre j te Total-
function m ter Classe, d. h. diejenige Function 1p (x) gesucht,
deren j te Partialfunction m ter Classe mit f (x) identisch ist
und wobei 1c -j- 1 aufeinander folgende Coefficienten einer
jeden der übrigen m — 1 Partialfunctionen von tp (x) eben
falls % = 0 befriedigen.
H. Schapira, Cofunctionen. I, 2.
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