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Abschnitt VIII. Capitel III. § 11. 
Jedenfalls ist klar, dass keine Reihe mit ganzen Ex 
ponenten unsere Aufgabe lösen kann, da die Substitution von 
r h m x anstatt x, die Multiplication mit r~ jh und Summirung 
nach h eine j te Partialfunction m ter Classe liefern würde, in 
welcher sämmtliche Coefficienten, deren Index nicht con 
gruent ist j (mod. m), identisch Mull sind, was der Voraus 
setzung in (8) widerspricht. Es handelt sich also offenbar 
um eine Interpolation von je (m — 1) Gliedern mit ge 
brochenen Exponenten zwischen je zwei aufeinander folgenden 
Gliedern der gegebenen Function f (x). Bezeichnen wir auch 
für diese neuen Glieder die Coefficienten mit gleichen Buch 
staben und mit Indices, welche den betreffenden Exponenten 
gleich sind, so erhalten wir für j = 0 die gesuchte Total 
function in der Form 
J_ 2 
f (x) — a 0 -f- a i x m + a 2 x m -f- • • • 
m m 
+ Om_i x m + a x x + a,n+i X m -f • • •, 
m m 
oder, kürzer bezeichnet, 
* 
i’ ( X ) = ¿2 dq X ' n , 
0 m 
wobei alle a mit gebrochenen Indices so zu bestimmen sind, 
dass je 7c -f- 1 derselben 
a qrrt+j 1 m-j-j } ’ ‘ ' 1 (l(q+k)m-\-j , 
nt rrt m nt 
welche ein constantes j = 0, 1,2, •••, m — 1 besitzen, 
für beliebige q die Gleichung (7) befriedigen. 
£ 
Setzt man für einen Augenblick x m = £; ^ (x) — <p (£), 
so ist 
m—1 00 
2 • a l ■ 
0 ' 0 m 
wobei s q die Summe der q ten Potenzen sämmtlicher Wurzeln 
von x m — 1=0 bedeutet. Nun verschwinden aber sämmt 
liche s q identisch, mit Ausnahme derjenigen, für welche 
q •— 0 (mod. m), in welch letzterem Pralle s q =m wird; folg 
lich hat man