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Abschnitt VIII. Capitel YI. § 13. 
der Æ-Ebene darstellen, so muss das von z unabhängige Glied 
der gegebenen Gleichung jedenfalls eine gerade Function von 
x sein, wenn f(x) nur ganzzahlige Exponenten besitzt. 
Ist dann der Coefficient von z ebenfalls eine gerade Func 
tion von x, so stellen f(x)- f(—x) die beiden Wurzeln dar, 
wenn noch die Bedingung erfüllt ist, dass das von x unab 
hängige Glied in dem Coefficienten von z die Ableitung von 
dem absoluten Gliede des Coefficienten von z°. 
Ist dagegen der Coefficient von z eine ungerade Func 
tion von x, so stellen f(x)] —/"(—x) die Wurzeln dar; 
wobei das absolute Glied in dem Coefficienten von z° beliebig 
sein kann. 
§ 13. 
Drei Lösungen der Gleichung dritten Grades. 
A. Die nullte cyklische Gleichung, 
a) Es sei die Gleichung 3 ten Grades 
£ 3 + ^2,o(« — g 0 )z 2 + (pi,o{x — g 0 )z + <p 0 ,o(tf — £<>) = 0 
gegeben, deren Coefficienten, der Einfachheit wegen, ganze 
rationale Functionen von x, deren Grad die Zahl 3 nicht über 
schreitet*), sein mögen, nämlich: 
*) Im allgemeinen Falle, wo noch die cp Potenzreihen sind, 
hat man 
aus (0) 0 = («o + ^o,o) + (3a 0 2а з — 3a 0 a, a 2 + a, 3 -f a 0?3 ) (ж — g 0 ) 3 -f 
+ j~3^a 0 2 a fi — «(,<*! a 5 -f- (a, 2 — a 0 a 2 ) a 4 -f- 
-f ct 0 a 3 2 — a,rt 2 a 3 + “j ) + a 0)6 ] (x — g 0 Y' + 
+ [з^а 0 2 а э — a t) a t a s + (а, 2 — а в а 2 ) а 7 -f 
+ (2а 0 а 3 — а,а 2 ) а г> + (а 2 2 — a t a 3 — а 0 а 4 ) а Г) + 
+ а, af — а 2 а 3 а 4 + ) + «о,«] (х — 9о) 9 Н 
aus (1) 0= 3 («q — а 3 ,о) + 3 [ 2а о«з — «| «г — «о а] ( ж — 9о) 3 + 
+ 3 [2а 0 а с , — а,а 5 — а 2 а 4 + о 3 2 - а 1)6 ] (х — д 0 ) 6 -f- 
+ 3[2а„а 9 — а,а 8 — а 2 а 7 + 2a 3 a 6 —a 4 a 5 —a l79 ] (х — д и ) 9 Н 
aus (2) 0=3(«„ + а 0 ,„) + 3 («з+ <* 2 ,з) О —0о) 3 + 
+ 3 (а 6 + а 2 , в ) (х - д 0 У •+- 3(а 9 -f or 2 , 9 ) (х - д 0 ) 9 d 
Alle Hauptschlüsse bestehen auch in diesem allgemeinen Falle;