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Abschnitt VIII. Capitel IV. § 15. 
ist aber eine Gleichung gegeben, in welcher die Coeffi- 
cienten gewisse Potenzreihen sind, deren Exponenten 
den obigen Gesetzen für keinen der Werthe 1 = 0, 1, 2,3, 4 
gehorchen, so ist es im Allgemeinen nicht möglich sämmt- 
liche Wurzeln durch die mit r~ lh multiplicirten circumplexen 
Functionen 5 ter Classe f ir'fx) darzustellen, ivenn f (x) eine 
Potenzreihe mit ganzen Exponenten sein soll. — Dagegen 
bleiben für diesen Fall noch folgende Möglichkeiten: 1) Ent 
weder erreicht man das Verlangte mittelst einer Substitution 
= y durch Cofunctionen einer Potenzreihe mit gebrochenen 
Exponenten. 2) Oder man ändert das Verlangen dahin, dass 
anstatt einer Hauptfunction mehrere treten; so dass n x cir 
cumplexe Functionen einer Hauptfunction f\ ix) n x Wurzeln 
und zugleich n 2 circumplexe Functionen nf Classe von f 2 (x) 
n 2 Wurzeln etc., bis etwa m circumplexe Functionen nF Classe 
von fx(x) m Wurzeln für jeden Werth von x liefern, wobei 
n \ + n 2 + • * ' 4“ Ml — M 
ist. 3) Oder endlich, man lässt beide Moäificationen zugleich 
gelten. Im Folgenden werden einige Beispiele behandelt 
werden. 
C. Erste cylilische Gleichung; 1=1. 
Es sei jetzt speciell die Gleichung 
z b -j- 5a 1)4 x 4 z -j- ao,o = 0 
gegeben, wobei also cp^^x) eine nullte Partialfunction [eigent 
lich eine Constante; man kann sie als nullte Partialfunction 
5 ter (eigentlich einer beliebigen) Classe betrachten, in welcher 
alle weiteren Coefficienten identisch Null sind, da die funda 
mentalen Gesetze der Cofunctionen über die weiteren Coeffi 
cienten nichts Näheres bestimmen j und cp x (x) eine 4 le Partial 
function 5 ter Classe (eigentlich einer beliebigen Classe), deren 
weitere Coefficienten identisch Null sind; während in den 
übrigen cp 2 (x), qp 3 (x), cp 4 (x) alle Coefficienten identisch ver 
schwinden. 
. Aus dem obigen allgemeinen Schema in B. ergiebt sich 
sofort, dass man es hier mit der ersten (l = 1) cyklischen 
Gleichung zu thun hat, deren 5 Wurzeln durch