Abschnitt VIII. Capitel IV. § 15. 
1G1 
/»; r 5 X f(v)\ r 5 2 f(r 5 2 x); r 6 3 f(r^x)-, r s *f(r 6 *x) 
einer Potenzreihe /'(¿c) mit ganzen Exponenten in der Um 
gebung von x — 0 repräsentirt werden. 
Die Bedingungsgleiehungen sind diesmal 
(0) 0 = Po 5 +P2 5 +P 3 5 +P4 5 + 20 PsP4(P2 2 P4 + Po 2 Ps) + a o,o, 
(!) 0 = P 2 3 Ps + Ps 3 Po + P 3 Pi + Po 3 Pa + ZPMiPo ~ «m^ 4 , 
(2) 0 = p.pp, + P?hh + Pi 2 Po + Po 2 Pa, 
(3) 0 =p 2 p 0 + p s p i , 
(4) 0 = p v 
Ein Blick auf die Construction der Gleichungen zeigt 
zunächst, 1) dass in (3), in welcher G = 2 (mod. 5) ist, nur 
ein einziges Glied vom kleinsten Gewichte 2 vorhanden ist 
und zwar das Glied p 2 p 0 , so dass die Reihe anfangen würde 
0 = a 2 a 0 x 2 -f- • • •, 
woraus sofort folgt a 2 a 0 — 0. Ganz ebenso folgt aus (2), 
in welcher G = 3 (mod. 5) ist, dass zum ersten Coefficienten 
von x d das einzige Glied p§ p 2 beitragen kann, und aus 
0 = a^a^x 4 + • • • 
folgt wiederum a 0 ' 2 a 3 = 0. Dagegen würde die Reihe (1) 
lauten 
0 = (a 0 3 a 4 — a lfi ) x 4 -f • • •' • 
Der Gleichung (0) sieht man es sofort an, dass sie kein 
einziges Glied vom Gewichte 5 besitzt, so dass sie lautet: 
0 — (a 0 5 + cc 0 ,o) + -4io# 10 + • • 
da nun a 0>0 von Null verschieden vorausgesetzt wird, so ist 
und es muss daher ausser — 0, (übrigens a q5 -pi = 0, wie 
aus (4) folgt) auch 
a 2 = 0 und a ;i = 0 
sein. 
Würde man, ohne jede Ueberlegung, die gesuchte Reihe 
vorläufig in der Gestalt 
f(x) = a 0 -j- «j x -(- a 2 X<1 + ' • ‘ 
H. Schapiba, Cofunctionen. I, 2. 
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