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Abschnitt YIIL Capitel IV. § 18. 
Gleichungen (3') und (4') dann ganz analog Systeme von 
linearen Gleichungen (bis auf eine einzige binomische) liefern, 
um durch sie die Coefficienten von $ (x) durch die von f(x) 
( < Pa( x ) und <p 4 (x) sind ja in unserem Falle, als identisch 
Null vorausgesetzt worden) eindeutig auszudrücken. 
Hätten wir zuerst aus drei Gleichungen die p eliminirt, 
so hätten wir umgekehrt zuerst zwei Bedingungsgleichungen 
erhalten, um die Coefficienten von %(%) durch die der qp(x) 
zu bestimmen und dann drei Bedingungsgleichungen zur Be 
stimmung der Coefficienten von f(oc) durch die von %(x) resp. 
der cp(x). 
Durch Anwendung der oben schon oft wiederholten 
Schlüsse erhält man jedenfalls die analoge Beschränkung für 
die Coefficienten der gegebenen Gleichung <p 0 (;r); 9h ( x ) j ( P-i( x )i 
dass sie alle nämlich lediglich nur Exponenten besitzen 
können, welche mit den entsprechenden in den ausgerech 
neten linken Seiten übereinstimmen. 
d) Wir haben in den obigen Beispielen immer an 
genommen, die Hauptfunction schreite nach ganzen positiven 
Exponenten fort. Es ist aber bereits oben in Capitel III 
§11 gezeigt worden, dass diese Einschränkung keine noth- 
wendige ist. Derjenige Fall nun, wo die Reihe nega 
tive Exponenten besitzt, ist direct aus den behandelten Bei 
spielen zu erhalten, wenn man x = ~ in der Gleichung so 
wohl, wie in der Reihe setzt. Nunmehr wollen wir auch noch 
die Möglichkeit zulassen, dass die Reihe mit einem negativen 
endlichen Exponenten anfängt und weitere Exponenten um 
positive Einheiten zunehmend wachsen. Der umgekehrte 
Fall, dass die Reihe mit einem positiven Exponenten anfängt 
und dann immer abnehmend fortschreitet, ist aus dem eben 
erwähnten Falle wieder durch die Substitution von x~ l an 
statt x zu erhalten. 
Der Definition der Partialfunctionen gemäss unterscheiden 
sich die Ordinalindices der aufeinander folgenden n Partial 
functionen n lcr Classe immer um eine Einheit. Bezeichnen 
wir den Exponenten des ersten Gliedes der Hauptfunction, 
welche mit einem positiven, oder negativen Exponenten an 
fängt, jedoch nach ganzen um positive Einheiten steigenden