Abschnitt VIII. Capitel I. § 5. 
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Aufgabe. Wie müssen die Coeffieienten a qn +% beschaffen 
sein, damit f n ,i(x) für alle Werthe von x in der Umgebung 
von x = 0 eine Wurzel der nach z binomischen Gleichung 
z m — di x mi — mal >l ~ 1 a n +iX l+mi = 0 
repräsentire, und wie gross ist der grösste Radius dieser 
Umgebung? 
Auflösung 1. Die Coeffieienten von ofi n in (Q) müssen 
alle, sofern q > 1 ist, einzeln verschwinden. Darnach be 
kommt man die Gleichung 
ct2n-H 1 — m / a n +i V 
~äi 2“ \ «i / ’ 
und wenn man diesen Werth in den nächsten Coeffieienten 
einsetzt, so bekommt man 
a 3n+i _ _ (1 —-m) (1 — 2m) / a n +i \ 3 
«,• ~ 2-3 V ) 
etc., und so allgemein 
n-\-i 
a 
i 
1(1 — m) (1 — 2m) • • • (l — (q— 1) m) 
ql 
q- 1 
J7¡ (1 — Im) 
o 
ai 
Unsere gesuchte Partialfunction lautet also 
fn,i{x) = a i x i + a n+i x n +’' + - 1(1 1 7 2 w) x 2n + { 
_j_ 1(1 —m) (1 2 m) yy xSn+i 
1 ■ 2 ' 3 aj 
Der Quotient zweier aufeinanderfolgenden Glieder lautet 
im Allgemeinen 
\ q / a. 
9U 
X n 
und weil der Zahlen coefficient dem Grenzwerth 
lim ( m 1 m) = — m 
q — <x a 
sich nähert, so bleibt f n ,i{x) convergent und zugleich Wurzel 
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