§ 5. Ein Rückblick.
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ist. Die erste Regel
dy du dv
dx dx dx
besagt nun: Die Steigung der Tangente der Summenkurve in P
ist gleich der Summe der Steigungen der Tangenten der u- und
r-Kurve in P 1 und P 2 . Um die Steigungen graphisch darzustellen,
ziehen wir noch irgend eine Parallele zur y-Achse. Sie treffe die
¿■-Achse in S, die Tangente der M-Kurve in T,, die der v-Kurve in
T 2 und die der Summenkurve in T.
Nun sind die drei Steigungen:
dy ST - Q P du _ 8 T; - QP 1 dv _ S r l\ - QP 2
dx QS 1 dx QS ’ dx QS
Folglich gibt die Summenregel:
ST-QP = ST, - QP, + ST 2 - QP 2
oder, da Q P gleich QP, -f- QP 2 ist:
ST = ST, + ST t .
Mithin entsteht die Tangente im Punkt P der Summenkurve aus
den Tangenten in den zugehörigen Punkten P, und P 2 der u- und
v-Kurve gerade so, wie wir die Summengerade zweier Geraden
konstruierten, vgl. Fig. 27, S. 40.
Man nennt die Herstellung der Summenkurve zweier (oder
mehrerer) Kurven durch Addition der Ordinaten, die zur selben
Abszisse gehören, die Aufeinanderlagerung oder Superposition
von Kurven. Wir sind also imstande, die Tangente der durch
Superposition hervorgehenden Kurve zu konstruieren, sobald wir
wissen, wie man die Tangenten an die Einzelkurven zu ziehen hat.
Diese Konstruktion gilt wohlbemerkt auch dann, wenn man die
Längeneinheiten auf den beiden Achsen verschieden groß gewählt hat.
Wir wollen dies auf die Bildkurve einer allgemeinen
quadratischen Funktion
(1) y — ax 2, + bx c
an wenden. Hier bedeuten a, b, c Konstanten. Die Funktion y
kann als die Summe der beiden Funktionen
u = a x 2 und v = b x + c
aufgefaßt werden. Die Bildkurve von ax 2 geht aus der von ¿ 2 , die
in Fig. 35, S. 51, dargestellt wurde, dadurch hervor, daß man alle
ihre Ordinaten mit der Konstante a multipliziert. Je nachdem
nun a positiv oder negativ ist, wird dabei das Vorzeichen der Ordi
naten ungeändert bleiben oder gewechselt. Je nachdem also a> 0
oder a < 0 ist, verläuft die Bildkurve von a x 2 gänzlich oberhalb
oder gänzlich unterhalb der ¿-Achse, indem sie nur im Anfangs
