§ 5. Ein Rückblick. 
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die Summenkurve hier die Gerade berühren müssen, wie es auch 
beide Figuren zeigen. 
Dies Beispiel hat noch weiterhin etwas Merkwürdiges: Man 
vermutet nach den Abbildungen, daß die Summenkurve der 
w-Kurve kongruent sei. Dies können wir leicht beweisen. 
Zu diesem Zwecke wollen wir mit der w-Kurve zweierlei vor 
nehmen: Zuerst verschieben wir sie längs der avAchse um eine 
gewisse Strecke m, dann verschieben wir die hervorgegangene Kurve 
längs der y-Achse um eine gewisse Strecke n. Die schließlich ent 
stehende Kurve muß das Bild einer gewissen Funktion sein, wir 
fragen uns, welcher Funktion. Wenn man zunächst die u-Kurve, 
d. h. das Bild von ax 2 , längs der x-Achse um m verschiebt, geht 
jeder ihrer Punkte in einen Punkt mit unveränderter Ordinate, aber 
mit um m größerer Abszisse über. Die alten Abszissen sind daher 
gleich den neuen, vermindert um m, d. h. die durch diese Verschie 
bung entstandene Kurve ist das Bild der Funktion a{x — m) 2 . In 
Fig. 66 ist als Verschiebungsstrecke m — — 5, in Fig. 67 dagegen 
m— 5 angenommen worden. Im ersten Falle hat also eine Ver 
schiebung nach der negativen Richtung der x- Achse hin stattgefunden. 
In beiden Figuren ist die entstandene Bildkurve von a(x — m) 2 
durch die gestrichelte Linie dargestellt, und zwar ist es in Fig. 66 
die Bildkurve von (x -f- 5) 2 und in Fig. 67 die Bildkurve von 
— 5) 2 . Weiterhin soll die entstandene Kurve längs der 
y-Achse um eine Strecke n verschoben werden. Man sieht, daß 
dabei alle Ordinaten, d. h. alle Funktionswerte, um n wachsen. Aus 
der Funktion a{x — m) 2 wird somit jetzt die Funktion a(x — m) 2 -f- n, 
deutlicher gesagt: Die jetzt entstandene Kurve ist das Bild der 
Funktion 
(2) a {x — m) 2 -f- n. 
In Fig. 66 ist n = — 1\, in Fig. 67 dagegen n — — gewählt 
worden. Da sich als Funktion a(x — m) 2 in Fig. 66 die Funktion 
To i^ + 5) 2 und in Fig. 67 die Funktion — -^(a: — 5) 2 ergeben hatte, 
geht demnach jetzt durch die Verschiebung parallel zury-Achse das 
Bild der Funktion 
to + 5) 2 - 7i bzw. - T V(* - 5) 2 - 
hervor. Man bemerkt nun, wenn man die Quadrate ausrechnet, daß 
diese Funktionen dieselben sind wie 
Tb" a^ 2 + x — 5 bzw. — x 2 -\- x — 5 , 
also genau diejenigen Funktionen, deren Bilder die Summenkurven 
in Fig. 66 und 67 sind. Für die beiden in den Figuren dargestellten