98 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
Drittes Kapitel. 
Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
§ 1. Ganze Funktionen. 
Die linearen und die quadratischen Funktionen, nämlich die 
von der Form 
y — ax-b und y = ax 2, -\-bx-f-c, 
sind nur besondere Fälle der sogenannten ganzen Funktionen. 
Darunter versteht man Funktionen von x, die Summen von mehreren 
Gliedern sind, von denen jedes eine ganze positive Potenz von z 
multipliziert mit einer Konstante ist, wie z. B. 
* 3 - 7z 4 + 5* + 6z*, 3 + 2,6z« + 3,2z 2 - 7z 9 . 
Es sollen also keine negativen Potenzen von z, wie z -1 oder 
l:z, x~ 2 oder l:z 2 usw. Vorkommen, auch keine gebrochenen Po 
tenzen wie zv oder j/z. Liegt eine ganze Funktion vor, so kann 
man die Glieder der Summe nach fallenden Potenzen von z ordnen, 
in den beiden soeben angegebenen Beispielen also in dieser Weise: 
6*5 _ 7z 4 + z 3 + 5z, - 7z 9 + 2,6z 8 + 3,2z 2 + 3. 
Ist die höchste vorkommende Potenz von z die w te , so nennt man 
die Funktion eine ganze Funktion n ten Grades. Die Beispiele sind 
ganze Funktionen vom 5. und 9. Grade. 
Die allgemeine Form einer 
Grades ist 
(!) y = «„*” + «»-1 XU ~ l + a n-2 * ii_2 + • 
wo die Koeffizienten a n , a n _ x , a n _ 2 , 
Konstanten bedeuten. 
Die einfachsten ganzen Funktionen sind die vom ersten und 
zweiten Grade, die, wie wir wissen, stetig sind. Dasselbe gilt von 
allen ganzen Funktionen, denn da y = z und y = z 2 stetig sind, ist 
auch y = z.z 2 — z 3 stetig, nach Satz 17, S. 82. Also nach demselben 
Satz auch y = z. z 5 = z 4 usw. Alle ganzen Potenzen von z sind 
somit stetige Funktionen von z, daher nach Satz 15, S. 79, auch 
die Produkte: 
ganzen Funktion n ten 
- • + a 2 xi + a \ x H - a o > 
... a.,, a x , a 0 irgend welche 
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