§ 1. Ganze Funktionen. 
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Nach Satz 11, S. 78, ist mithin die aus ihnen gebildete Summe, d. h. 
die Funktion (1), stetig. Demnach gilt der 
Satz 24: Jede ganze Funktion ist stetig. 
Folglich gehört bei ihr allemal zu einem unendlich kleinen 
Zuwachs von x auch ein unendlich kleiner Zuwachs von y. Der 
Differentialquotient der Funktion (1) ist leicht zu berechnen. Denn 
nach der Summenregel, S. 90, hat man sie gliedweise zu differen 
zieren. Das erste Glied a n x n hat den koftstanten Faktor a n . Der 
bleibt nach der Faktorregel (S. 91) als Faktor stehen. x n aber 
hat nach der Potenzregel (S. 92) den Differentialquotienten nx n ~ l , 
also a n x n den Differentialquotienten na u x n ~ l . Ebenso behandeln 
wir a n _ x x n ~\ Zunächst ist a n _ l ein konstanter Faktor, der bleibt. 
x ll ~ 1 gibt nach der Regel für x 11 differenziert, indem hier n — 1 
an die Stelle von n tritt, den Differentialquotienten [n — 1)t' h-1)_1 
oder (w, — l).r n—2 . Also hat a n _ x x ll ~ l den Differentialquotienten 
(ri — 1) a n _ x x n ~~ 2 . So fährt man fort. Schließlich hat das letzte 
Glied a 0 den Differentialquotienten Null. Es ergibt sich also als 
Differentialquotient der Funktion (1): 
(2) ~~ = na x 
K 1 dx n 
1 +(»—l)«„_i a?n 2 - 
So hat die Funktion 
y = 6.7' 5 — 7 x\ -j- x' 
den Differentialquotienten 
• dy __ ß ^ j 4x s 
= 30x 4 - 28 x 3 
und die Funktion 
y — — 7 xf + 2,6 x* -j- 
den Differentialquotienten: 
i n ~ 2 ) X i = ß.~r • • • + 2 • 
1 • 
3./ 
dy 
dx 
= — 7.9x s —- 2,6.8.t 7 
3,2.2^ 
= — 63 x H -f- 20,<S.r 7 -(- 6,4t . 
Man sieht also, daß man den Differentialquotienten 
einer ganzen Funktion ohne weiteres hinschreiben kann. 
Dabei hat sich noch ergeben: 
Satz 25: Der Differentialquotient einer ganzen Funktion 
7i ten Grades ist eine ganze Funktion (w— l) ten Grades. 
Die Angabe des Differentialquotienten ist auch dann leicht, 
wenn die Funktion noch nicht geordnet ist. So hat die ganze 
Funktion dritten Grades 
y 
_ ß + 6t 2 - 2t 3 
7*