102 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
0 und 2|. Nehmen wir nacheinander für x eine Reihe von Werten in diesem 
Intervall an, so kommt 1 : 
z y 
0 0 
t 14 
1 18 
H 15 
2 8 
H o 
dy_ 
dx 
Hn TT" 
j positiv. 
0 
-H , 
-16 
- 15 ) 
negativ. 
Wenn man die Funktion y graphisch darstellt, so daß die Abszissen die 
Schachtelhöhen, die Ordinaten die Schachtelinhalte durch Strecken veranschau 
lichen, so findet man eine Kurve, die vom An 
fangspunkt an steigt, da dy.dx zunächst 
positive Werte hat. Für* = l ist die Steigung 
der Tangente gleich Null. Hier ist der 
Gipfel der Kurve. Für * > 1 wird die Steigung 
negativ, d. h. die Kurve fällt, bis sie die x- 
Aehse an der Stelle x = 2k trifft, siehe Fig. 71'-. 
Allerdings haben wir dies alles noch nicht genau 
bewiesen, da wir nur einige Stellen berechnet 
haben. Um es zu tun, formen wir den Wert von 
dy : dx etwas um. Die Stelle * — 1 ist besonders 
bedeutsam, weil hier dy.dx gleich Null wird. 
Wir können nun dy.dx so ausdrücken, daß * — 1 statt x vorkommt, also der 
jenige Wert, der für x = 1 gleich Null ist. In der Tat, wenn wir in (8) statt 
12./;- zunächst 12(x— l) 2 schreiben, ist dies fehlerhaft, nämlich um —24a; + 12 
größer als 12x-, weshalb 24*— 12 noch addiert werden muß. Demnach kommt: 
4*1 = 12 (* - 1)- + 24* - 12 - 52* + 40 
dx 
= 12 (* - l) 2 - 28 (* - 1) = 12 (* - 1)(* - 3 jL). 
Da * zwischen 0 und 2U liegen muß, ist x — 3jr negativ. Dagegen ist * — 1 
negativ für * kleiner als 1 und positiv für * größer als 1. Also für * zwischen 
0 und 1 ist die Steigung positiv, für * zwischen 1 und 2-i- negativ. Für * = 1 
hat die Kurve daher ihre höchste Stelle, d. h. für * = 1 ist y am größten. Dies 
bedeutet: Die Schachtel wird den größten Inhalt haben, wenn man den Rand 
gerade 1 cm hoch wählt. Der Inhalt ist dann N 18 ccm. 
Schon früher, im 3. Beispiel auf S. 57, 58 und im 5. Beispiel auf 
S. 60, 61 haben wir wie soeben solche Werte von x betrachtet, 
für die eine Funktion y am größten wird. Untersuchen wir dies 
jetzt ganz allgemein! Dabei nehmen wir an, die vorgelegte Funk 
tion y = f (*) sei stetig, und Fig. 72 stelle ihre Bildkurve dar. 
Ferner erinnern wir daran, daß die Kurve nach S. 35 stets so 
1 y berechnet man dabei am bequemsten mittels (6), nicht mittels (7). 
- Die ^-Einheit wählt man hier bedeutend kleiner als die «-Einheit, weil 
die ¿/-Werte so groß sind.