§ 1. Ganze Funktionen. 
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Intervall beschränkt, so treten zu diesen Maximis und 
Minimis von y noch an den Grenzen des Intervalls Grenz- 
maxima oder Grenzminima hinzu. 
Wir betonen nochmals, daß wir eine Höhe y ein Maximum 
(oder Minimum) nennen, sobald nur die unmittelbar vorhergehenden 
und nachfolgenden Höhen kleiner (größer) sind. Alle verschieden 
hohen Gipfel der Kurve sollen also Maxima heißen und alle ver 
schieden tiefen Täler der Kurve Minima. 
Hat man Satz 27 völlig durchdacht, so wird man die zeichne 
rische Darstellung nicht mehr nötig haben, um bei einer vorgelegten 
Aufgabe die Maxima und Minima zu finden, sondern geradezu die 
Werte von x suchen, für die der Differentialquotient gleich Null ist. 
So war im letzten Beispiel, siehe (8): 
( \ y = 12a- 2 - 52* + 40. 
dx 
Um hier die Maxima und Minima von y zu finden, fragen wir also, 
für welchen Wert von x der Ausdruck 12^ 2 — 52x -j- 40 gleich 
Null wird. Bei dieser Aufgabe handelt es sich nicht mehr um 
eine beliebig veränderliche Größe x, sondern um die Auffindung ganz 
bestimmter, aber noch unbekannter Werte von x, nämlich 
um die Berechnung der Unbekannten x aus der Gleichung: 
12a- 2 - 52a-+ 40 = 0. 
Da x in der zweiten Potenz auftritt, ist dies eine sogenannte 
quadratische Gleichung. In unserem Beispiel gelang es uns 
auf S. 102, dy.dx auf die Form zu bringen: 
-% = 12(*-l)(*-3£), 
und dieser Differentialquotient ist, da rechts ein Produkt stellt, nur 
dann gleich Null, wenn einer der Faktoren des Produkts gleich 
Null ist, d. h. wenn entweder x — 1 = 0 und daher x — 1 oder 
x — = 0 und daher x = 3|- ist. Weil x im Beispiel auf die 
Werte zwischen 0 und 2j- beschränkt war, kann sich mithin ein 
Maximum oder Minimum des Inhaltes y nur für x = 1 ergeben. 
Wir sahen dort, daß für x < 1 der Differentialquotient positiv, für 
x > 1 negativ ist, d. h. x = 1 gibt ein Maximum von y. Außerdem 
treten an den Grenzen des Intervalls, nämlich für x = 0 und x = 2\ 
Grenzminima auf, da hier y = 0 wird, während y sonst im ganzen 
Intervalle größer als Null ist. Diese Grenzminima haben aber für 
die Aufgabe keine Bedeutung. Dem einen, für x = 0, würde ja eine 
Schachtel von der Höhe Null, dem andern, für x=2±, eine 
Schachtel von der Bodenliäche Null entsprechen.