110 Dt" Utes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
Angenähert aber können wir die Lösungen irgend einer vor 
gelegten Gleichung r< tcn Grades auf einem Wege berechnen, der 
übrigens auch für andere Arten von Gleichungen gangbar ist, die 
wir später treffen werden. Das Verfahren, das wir dafür im nächsten 
Paragraphen geben werden, gestattet, die Lösungen mit einer so 
großen Genauigkeit zu berechnen, wie man will. 
Hier wollen wir nur noch einen wichtigen Satz beweisen, den 
wir zunächst am besten an Beispielen erläutern. 
8. Beispiel. Die Gleichung 4. Grades 
3 x* — 2 x 3 4- 5 x — 4 2 = 0 
hat die Lösung x = 2. Denn wenn man diesen Wert für x einsetzt, wird die 
linke Seite gleich Null. Wir fragen: Was ergibt sich, wenn man die linke 
Seite der Gleichung, also die ganze Funktion 4. Grades 
y — 3 x* — 2 a 3 + 5 x — 42 , 
worin jetzt x eine beliebig veränd erliche'Größe sei, mit x — 2 dividiert? 
Die Divisidn, man nennt sie Partialdivision, führen wir gerade so aus, 
wie man eine Zahl mit einer anderen dividiert, wobei man ja bekanntlich 
vom Dividenden erst die höchsten Stellen, dann die folgenden usw. berück 
sichtigt. Hier betrachten wir entsprechend zuerst die höchste Potenz von x, 
nämlich 3a; 4 . Zunächst ist 3a; 4 dividiert mit x, gleich 3a;?. Dies ist ein erster 
Teil des Ergebnisses. Wir multiplizieren x — 2 mit 3a; 3 . Das gibt 
3 a; 4 — 6 a- 3 . 
Dies ziehen wir von y ab. Es bleibt der Rest: 
4 a; 3 4- 5 x — 42 . 
Er ist also noch mit x — 2 zu dividieren. 4a :i gibt, mit x -dividiert, 4a~. Also 
ist 4a; 2 das nächste Teilergebnis. Multiplikation von x — 2 mit 4a- 2 
aber liefert: 
4a; 3 — 8a: 2 . 
Dies gibt, von jenem Rest abgezogen, den neuen Rest: 
8 x* + 5a; — 42 . 
Wegen 8a 2 :a = 8a; ist 8a- das nächste Teilergebnis. Multiplizieren wir 
x — 2 mit 8a, so kommt: 
8a 2 - 16a. 
Ziehen wir dies vom letzten Rest ab, so geht der neue Rest hervor: 
21a - 42 . 
21a:a gibt 21. Demnach ist 21 das nächste Teilergebnis, a —2 liefert, 
mit 21 multipliziert: 
21a - 42 . 
Ziehen wir dies vom letzten Rest ab, so bleibt Null, d. h. die Division geht 
auf. Es kommt also: 
3a 4 
9*8 
42 
3 a 1 ’ 4 a 2 -{- 8 a -f- 21 
\x n 4- 5 a 
a — 2 
9. Beispiel: Dieselbe Gleichung 4. Grades 
3 a 4 — 2 a 8 + 5 a — 42 = 0 
hat 
nicht 
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mit a 
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Hierbei 
sondern 
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Funktio 
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