120 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
oder: 
x — x 
d. h. der bessere Näherungswert ist: 
(5) j 
y 
dy 
dx 
y 
dy 
dx 
Dies Verfahren heißt nach seinem Erfinder die a Newton sehe 
Näherungsmethode. 
2. Beispiel: Wir nehmen wieder die vorige Aufgabe, die Lösung x der 
Gleichung x 3 — 10000 zu finden. Es ergab sich schon oben, daß die Annahme 
.t = 21,54, y =-6,1 
einen nahe beim fraglichen Punkte S gelegenen Punkt gibt. Aus 
y = x 3 - 10000 
folgt: 
dy 
dx 
so daß hier die Formel (5) so lautet: 
= 3 a: 2 , 
y 
3 x- 
Also kommt als besserer Näherungswert: 
M>54 + _ i^r“ 21,5444 • 
Wählen wir jetzt x = 21,5444, so ist y = + 0,07, und die Näherungsformel (5) 
ergibt den besseren Näherungswert: 
21 ’ 5444 - - 21 ’ 544350 
usw. 
Man kommt im allgemeinen schneller zum Ziele, wenn 
man das erste Verfahren benutzt, aber so, wie es im 1. Beispiel 
geschah, d. h. indem man abwechselnd zuerst nahe beieinander 
liegende Punkte der Fehlerkurve bestimmt, darauf nach der Methode 
einen besseren Näherungswert berechnet, dann durch Probieren, in 
dem man einen Wert dicht neben dem berechneten wählt, zwei 
noch näher beieinander liegende Punkte der Fehlerkurve bestimmt, 
dann wieder nach der Methode aus ihnen einen besseren Näherungs 
wert ableitet, usw. 
Beide Näherungsverfahren sind nicht nur bei Glei 
chungen w ten Grades anwendbar, sondern z. B. auch zur Be 
stimmung der Werte von x, für die x x = 100 ist, oder für die 
cos x — x ist und dergl. Sie sind überhaupt auf jede Gleichung 
f{x) = 0