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§ 2. Über die Auflösung von Gleichungen. 
anwendbar, deren linke Seite f\x) eine stetige Funktion von x ist, 
das zweite Verfahren allerdings nur dann, wenn man f{x) zu diffe 
renzieren vermag. 
Bei der Anwendung von Näherungsverfahren muß man übrigens 
immer berücksichtigen, wie weit überhaupt die Angaben der 
Aufgabe eine größere Genauigkeit gestatten. Dies erläutert 
das folgende 
3. Beispiel: Eine eiserne Kugel von 1 Dezimeter Radius schwimmt in 
Quecksilber. Wie tief sinkt sie ein? Die spezifischen Gewichte von Eisen und 
Quecksilber sind dabei gegeben durch die Zahlen 7,88 und 13,60. Die Kugel 
sinkt so tief, bis das Gewicht des von dem unter 
getauchten Teile verdrängten Quecksilbers gleich 
dem Gesamtgewichte der eisernen Kugel ist, d. h. 
bis sich das Volumen des untergetauchten Teils 
zum Volumen der ganzen Kugel wie 7,88 zu 13,60 
verhält, also das Volumen des oben herausragenden 
Kugelstücks zum Volumen der ganzen Kugel wie 
13,60 — 7,88 zu 13,60, d. h. wie 5,72 zu 13,60. 
Augenscheinlich sinkt also mehr als die Kugelhälfte 
ein; die Höhe des herausragenden Kugelabschnittes 
liegt zwischen 0 und 10 cm; sie betrage scm, siehe Fig. 82. Das Volumen 
dieses Kugelabschnittes ist, wie die Stereometrie lehrt, gleich (nrx 1 — ^nx 3 ) ccm, 
wenn r den Radius der Kugel in Zentimetern bedeutet. Ferner ist für 3 das 
Volumen der Kugel. Daher kommt wegen r — 10: 
Fig. 82. 
oder: 
IOtios 2 — \nx 3 5,72 
-* . 1000.71 ~ 13760 
5 72 
x 3 — 30a; 2 -f- -—-—— • 4000 = 0 . 
13,60 
Da die Zahlen 5,72 und 13,60 bis auf zwei Dezimalstellen abgerundet sind, 
wissen wir über den Wert des letzten Gliedes nur, daß es zwischen 
oder zwischen 
5,715 
13,605 
• 4000 
und 
5,725 
13,595 
• 4000 
1680 und 1685 
liegt. Die Aufgabe ist also die, einen Wert x derart zu berechnen, daß der 
Wert der Funktion 
y = x a — 30a; 2 + 1682,5 
um weniger als ± 2,5 von Null abweicht. Man weiß, daß x etwas kleiner als 
10 ist. Es kommt: 1 
x y 
8 + 274,5 
9 - 18,5 
3 Die Dezimale 5 ist bei den Werten von y nur deshalb hinzugefügt, weil 
die angenäherte Berechnung Zweifel darüber läßt, ob die Einer zu erhöhen 
sind oder nicht.