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§ 2. Über die Auflösung von Gleichungen. 
(die sogenannte 
so fordern wir: 
oder: 
)goldene* Teilung). Ist x die Länge des größeren Stückes, 
1 — x x 
X 1 
x* + x — 1 = 0. 
Der Linienzug ACDB besteht hier aus drei gleichlangen Strecken, siehe 
Fig, 88. Der die Gleichung „auflösende 1 * Linienzug AXB besteht also aus 
nur zwei Strecken, d. h. X muß so auf der Geraden CD 
bestimmt werden, daß <5 AXB ein rechter wird. X muß 
demnach auf dem Kreise über AB als Durchmesser liegen. 
Dieser Kreis schneidet die Gerade CD in zwei Punkten X. 
Zum oberen X gehört eine positive Lösung, die einzige, 
die in Betracht kommt. Es ist nämlich das zugehörige 
Flg. 87. 
Fig. 89. 
x — CX: AC = CX, wegen AC= 1. Das gewöhnliche Verfahren der goldenen 
Teilung besteht (siehe Fig. 89) darin, daß man auf der Strecke AC — 1 in C das 
Lot CM = \ errichtet und dann um M de% Kreis durch C legt. Er schneide 
A M in N. Dann ist A N der gesuchte Abschnitt x. Legen wir beide Figuren 
aufeinander, so sehen wir, daß wir in der Tat genau dieselbe Strecke x gefunden 
haben, da x die Differenz der Radien MA und MC ist. 
Es kann bei anderen quadratischen Gleichungen Vorkommen, 
daß der Kreis über AB als Durchmesser die Gerade CI) nur be 
rührt oder überhaupt nicht trifft. Dann hat die Gleichung nur eine 
oder gar keine reelle Lösung. 
Das rechnerische Verfahren zur Auflösung einer qua 
dratischen Gleichung soll hier noch einmal vom Standpunkt 
der Differentialrechnung aus besprochen werden: Die Lösungen x 
der quadratischen Gleichung 
(ß) ax l -j- bx -J- c = 0 
sind diejenigen Werte der Veränderlichen x, für die die 
quadratische Funktion 
(7) y — ax 2 -f bx -|- c 
gleich Null ist, d. h. die Abszissen derjenigen -Punkte, in denen die 
Bildkurve der quadratischen Funktion die x-Achse schneidet. Diese 
Scheffers, Mathematik. 4. Aufl. 9