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§ 2. Über die Auflösung von Gleichungen. 
Wir empfehlen dem Leser, von sich aus diese Figuren neu herzu 
stellen, also die Parabeln 
y = %x 2 -x - f, + * + f, 
ferner die Parabeln 
y = \x 2 - x -j- I, y = -+ x - | 
und schließlich die Parabeln 
# = |x 2 - * + f, y = --|-ar a +jr-f 
selbst zu zeichnen. 
Vor der Auflösung pflegt man eine quadratische Gleichung 
meistens durch Division mit dem Koeffizienten von x 2 auf eine Form 
(10) 
x 3 -}-Ax-}-c = 0 
zu bringen, in der x 2 den Koeffizienten Eins hat. Hier kann man 
die Lösungen (9) wegen a — 1 so schreiben: 
und in dieser Form (11) lassen sich die Lösungen der qua 
dratischen Gleichung (10) leicht merken. Man bildet näm 
lich den halben Koeffizienten von x, aber mit den entgegen 
gesetzten Vorzeichen, und addiert dazu die positive oder negative 
Quadratwurzel aus dem um das konstante Glied c verminderten 
Quadrate des soeben hergestellten Gliedes. 
Schließlich noch einige Bemerkungen über die Lösungen einer 
Gleichung von beliebig hohem Grade. Die Verfahren zur angenäherten 
Auflösung von Gleichungen beziehen sich nur auf ihre reellen 
Lösungen. Hat aber jede Gleichung w ten Grades überhaupt reelle 
Lösungen ? Wir sahen soeben, daß quadratische Gleichungen gar keine 
reellen Lösungen haben können. Die Frage ist daher zu verneinen. 
Dagegen läßt sich leicht einsehen, daß jede Gleichung, deren Grad n eine 
ungerade Zahl ist, wenigstens eine reelle Lösung hat. Denn wenn in 
a n x ' n + a n-i x% 1 + •.. + «2 x 2 + a x x + a 0 = 0 
der Grad n eine ungerade Zahl wie 1, 3, 5, 7 . . . ist, hat die Funktion 
V = x n + x n 1 + ... + o 2 ^ + ö 1 x + ö 0 
nach S. 108 eine Bildkurve, die, sobald a n positiv ist, von links 
unten aus dem Unendlichen kommt und nach rechts oben wieder 
ins Unendliche übergeht, oder aber, sobald a n negativ ist, von links 
oben aus dem Unendlichen kommt und nach rechts unten wieder 
ins Unendliche übergeht. In beiden Fällen muß die Bildkurve die 
x-Achse durchschneiden, da sie stetig ist. Es gibt also wenigstens