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Erstes Kapitel: Größen und Funktionen. 
Der relative Fehler geht hieraus durch Division mit dem wahren 
Werte b hervor und ist daher: 
V— b 1 , , . g 
— 
wofür man wegen (1) auch schreiben kann: 
/K > b' — b n — n 
(°> — = • 
Die Zähler der beiden relativen Fehler (4) und (5) haben ver 
schiedene Vorzeichen, denn wenn z. B. n größer als 7t ist, stellt 
5t — % eine negative und % — % eine positive Zahl dar. Dieser 
Unterschied ist erklärlich, denn wenn man statt % z. B. einen 
Näherungswert % größer als % annimmt, wird die Formel (2) den 
Wert von g zu klein, dagegen die Formel (3) den Wert von b zu 
groß ergeben, d. h. dann wird g' — g negativ und b' — b positiv. 
Gerade umgekehrt liegt die Sache, wenn der Näherungswert n 
kleiner als 7t gewählt wird. Die Nenner der beiden relativen 
Fehler (4) und (5) sind % und % und weichen daher wenig vonein 
ander ab. Wenn man z. B. statt n den sehr rohen Näherungswert 
;r'= 3 benutzt, ist 
71 - ri _ 0,1415926 ... ^ n'-7t_ 0,1415926... 
7i ~ 3 n ~ ~ 3,1415926.. . ’ 
und diese beiden Werte weichen, abgesehen von ihren verschiedenen 
Vorzeichen, nur wenig voneinander ab, nämlich um weniger als 0,05, 
obgleich 7t durch den sehr rohen Näherungswert 3 ersetzt 1 worden 
war. Noch viel größer wird die Übereinstimmung, falls man für 7t 
einen besseren Näherungswert anwendet. Da es sich nun doch nur 
um eine Abschätzung des Fehlers handelt, dürfen wir also sagen: 
Der bei der Anwendung der Formel (2) entstehende relative Fehler 
ist, abgesehen vom Vorzeichen, fast genau derselbe wie der bei der 
Anwendung der Formel (3) entstehende, nämlich wie der Wert: 
(ö) 
f 
Dieser Bruch aber enthält im Zähler den Fehler von 7t und im 
Nenner 7t selbst, ist also nichts anders als der relative Fehler der 
statt 7t benutzten Zahl 7t'. 
Also wird bei der Anwendung der beiden Formeln (2) 
und (3) ein relativer Fehler begangen, der, abgesehen vom 
Vorzeichen, gleich dem relativen Fehler des statt 7t be 
nutzten Näherungswertes ist. Wenn man z. B. die Zahl 7t bis 
auf höchstens 1 °/ 0 falsch wählt, werden auch die Ergebnisse der 
Formeln (2) und (3) höchstens um 1 °/ 0 falsch ausfallen.