§ 3. Besondere Integrationsverfahren.
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Der erste Schritt zur Berechnung des Integrals (1) be
steht darin, daß man diese Zerlegung für den Nenner *>(*)
des Integranden wirklich herstellt, d. h. h x , h 2 . . . h n be
rechnet. Diese Konstanten h v h v ... h n sind die Lösungen der
Gleichung w ten Grades v{x) = 0. Ihre Berechnung kann Schwierig
keiten machen, vgl. dazu § 2 des 3. Kap. Ist aber die Zerlegung (2)
gewonnen, so behaupten wir nun:
Wenn h v h v ... h n sämtlich voneinander verschieden
sind, läßt sich die gebrochene Funktion u[x):v(x) stets in
eine Summe von Teilbrüchen zerlegen:
' v{x) x — h x x — h 2 ’'' x — h n ’
wo c v c 2 , ... c n Konstanten sind.
Bezeichnen wir nämlich zur Abkürzung k(x — h 2 ) ... (x — hj
mit cp (ar), so ist cp (x) nicht gleich Null für x = h x , weil h x von
h 2 , h 3 , . . . h n verschieden ist. Nach (2) ist ferner:
(4) v (x) ={x - Äj) cp {x).
Bedeutet nun c l die Konstante
(5) .
U (hl)
<p(K)
worin cp (hf) 4= 0 ist, so hat die ganze Funktion
u (ar) — c x cp (#)
höchstens den Grad n— 1, da u(x) nach Voraussetzung von niedri
gerem Grade als v(x) ist und dasselbe von cp(x) gilt. Für x — h x
ist die Funktion u(x)—c x (x) wegen (5) gleich Null, mithin nach
Satz 30, S. 114, mit x — h x teilbar. Die Division liefert eine ganz
Funktion u x (x) vom höchstens (n — 2) ten Grade. Nun ist u[x) gleich
c x cp[x) + {x — h x )u x (x) und v(x) nach (4) gleich (x — h x )cp(x), mithin:
/A\ u(x) __ e, (p (x) + (x — hfrUjJx) _ c x u x (x)
' v (x) (x — h x ) (p (x) x — h x cp (x)
Da
v (ar) — k{x — h x ) {x — h 2 ) ...(x — h n ) und cp {x) = k [x - h 2 ) ... [x - h J
ist, hat der letzte Bruch rechts in (6) wieder die Form der linken
Seite, aber Zähler und Nenner sind um eine Einheit im Grade
niedriger. Ebenso, wie wir gesehen haben, daß u(x):v(x) in der
Form (6) zerlegbar ist, ergibt sich also, daß u x (x):cp(x) in der Form
Co , (x)
x — h 2
zerlegbar ist, usw. So fahren wir fort, bis schließlich im Nenner
des letzten Bruches nur noch ein Glied k(x — Ä^hsteht, im Zähler
