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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
Die Zerlegung (3) des Integranden ist zwar auch dann möglich, 
wenn unter den Lösungen h 1 , h 2 ... h n der Gleichung n tea Grades 
imaginäre vorhanden sind, aber das Ergebnis der Integration enthält 
dann Imaginäres. Es tritt immerhin nur scheinbar auf, und wir 
wollen zeigen, wie man die imaginären Teile aus dem Ergebnis 
los wird: 
Es sei h x eine imaginäre Lösung der Gleichung n tea 
Grades v(x) = 0, d. h. etwa von der Form h x = p + iq, wo p und 
q reell sind und .« = ]/— 1 ist. Dann muß v[x) gleich Null sein 
für x — p + iq. Wenn dieser Wert in v[x) eingesetzt wird, entsteht 
eine Summe von reellen und mit i # behafteten Gliedern. Indem wir 
alle reellen Glieder für sich zusammenfassen, bekommen wir als 
Ergebnis einen Ausdruck von der Form P+ iQ, wo P und Q, reell 
sind. Dieser Ausdruck kann aber nur dann gleich Null sein, wenn 
sowohl P als auch Q gleich Null ist. Dann ist aber augenscheinlich 
auch P — i Q gleich Null. Nun geht P—iQ aus i?(ar) hervor, wenn 
man darin x = p — iq setzt. Somit ist v(x) auch für x — p — iq 
gleich Null, d. h. p — iq ist ebenfalls eine Lösung der Gleichung 
v(x) = 0. Wenn also die Gleichung n teu Grades v(x) = 0 eine 
imaginäre Lösung p+ig hat, kommt ihr auch die imagi 
näre Lösung p — iq zu. Man nennt p\iq und p — iq kon 
jugiert imaginäre Größen. 
Wir dürfen hiernach annehmen, es sei: 
K = p + * q > K = p — * q • 
Die Zerlegung (3) hat nun die Form: 
(12) 
Der Wert der Konstante c x ergibt sich wie in den beiden Beispielen 
so: Wir multiplizieren die Gleichung mit x — p — iq, wodurch sich 
der links im Nenner v (ar) enthaltene Faktor x — p — iq forthebt, 
und setzen darauf x = p-\-iq• Ganz entsprechend ergibt sich c 2 durch 
die Multiplikation mit x — p + iq und Einsetzen von x = p — iq- 
Hieraus folgt, daß die Werte von c x und c 2 zwar imaginär sind, 
sich aber nur im Vorzeichen von i unterscheiden, d. h. wenn \ 
und A 2 konjugiert imaginär sind, gilt dasselbe von c x und c r 
Dementsprechend sei etwa: 
c 1 = ^ + fA, c = x — i X, 
worin x und X reelle Konstanten bedeuten. Die beiden ersten Glieder 
rechts in (12) bringen wir jetzt auf den gemeinsamen Nenner