(3) 
= 2 R oder dR 2 = 2RdR 
§ 4. Die Fourier sehe Reihe. 
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b 2 , c 2 , ... b n , c n so zu bestimmen, daß die Funktion fy>[x) im Inter- 
vall von x = 0 bis x = 2 n einer vorgelegten stetigen periodischen 
Funktion fix) mit derselben Periode 2 n möglichst nahe kommt, und 
nennen dann cp(x) eine Ersatzfunktion von f(x). 
Der an irgend einer Stelle x im Intervall hei der Annahme 
von (p{x) statt fix) begangene Fehler ist die Differenz 
(2) 
R = f{x) - cp(x). 
Im 2. und 3. Paragraphen des zehnten Kapitels betrachteten wir 
zwei andere Ersatzfunktionen. Der ersten legten wir die Bedingung 
auf, daß sie an mehreren gegebenen Stellen mit fix) übereinstimmen 
sollte, wodurch wir zu der LAGEANGESchen Interpolations 
formel kamen; der zweiten legten wir die Bedingung auf, daß sie 
und ihre Differentialquotienten bis zu einer gewissen Ordnung mit 
f(x) und den Differentialquotienten von. f{x) bis zu derselben Ord 
nung für einen gewissen Wert von x übereinstimmen sollten, wo 
durch wir zur TAYLOESchen Formel gelangten. Jetzt wollen wir 
eine dritte Art der Annäherung von <p{x) an f{x) fordern: Wesent 
lich ist nur der absolute Betrag des Fehlers R. Deshalb betrachten 
wir nicht den Fehler R, sondern sein stets positives Quadrat R 2 . 
Wir wollen nun die Koeffizienten von cp{x) so zu bestimmen ver 
suchen, daß das mittlere Fehlerquadrat, d. h. das arith 
metische Mittel aller Fehlerquadrate im ganzen Intervall 
von x — 0 bis x = 27t, so klein wie möglich wird. Dies arith 
metische Mittel hat nach Satz 52, S. 251, den positiven Wert 
ü 
Angenommen, die Koeffizienten a, b x , c x , ... b n , c n haben schon 
die gesuchten richtigen Werte. Da M ein Minimum sein soll, ist 
zu fordern, daß jede beliebig kleine positive oder negative Änderung 
irgend eines Koeffizienten von <p(x) stets eine Zunahme, nie eine Ab 
nahme von M nach sich ziehe. Wenn wir zunächst den ersten 
Koeffizienten a in <p(x) um eine nach Null strebende Größe s wachsen 
lassen, erfährt <p[x) die Zunahme e, also R nach (2) die Zunahme 
dR = — s. Der zugehörige Zuwachs von R 2 kann mittels der 
Formel