626 
Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
Die Bedingungen (6), (7) und (8) bestimmen in der Tat alle 
2n + 1 Koeffizienten a, b 1 , ... b n und c lf ... c„. Deshalb haben 
wir den 
Satz 165: Hat eine stetige Funktion f(x) die Periode 2n, 
so hat unter allen Ersatzfunktionen von der Form 
cp (x) = a -(- öj sin x -f- ¿ 2 sin 2x -j- . . . -f- b n sin nx 
-f- Cj cos x + c 2 cos 2x + '... + c B cos nx 
diejenige, für die das arithmetische Mittel der Quadrate 
aller Fehler f{x) — cp(x) im ganzen Intervall von x — 0 bis 
x — 2n am kleinsten ist, die Koeffizienten: 
2jt 2jr 
a = —J f{x) dx , b r = ~~J*/'(*) s i n r x dx , 
0 0 
2 71 
c r — ~J*f \ x ) cos r x dx (r =1, 2, ... n). 
0 
Bisher haben wir eine Ersatzfunktion cp ix) betrachtet, die nur 
2n + 1 Summanden hatte. Jetzt wollen wir diese Anzahl über alle 
Grenzen wachsen lassen. Dann ist das Ziel der Untersuchung, zu 
beweisen: Wenn x = h irgend einen Wert im Intervall von x — 0 
bis x — 2Ti bedeutet, strebt cp{x) für limw =oo an der Stelle x = h 
gerade nach dem zugehörigen Wert f(h) von f{x). Wir wollen 
zeigen, daß dieser Beweis auf den Nachweis der Richtigkeit einer 
einzigen wichtigen Formel hinausläuft. 
Werden in 
cp ih) = a + b 1 sin h + ¿ 2 sin 2 h + . . . + b n sin n h 
+ c x cos h -f c 2 cos 2 h + ... -f- c n cos n h 
die in Satz 165 angegebenen Werte der Koeffizienten eingeführt, 
die konstanten Faktoren sin h, sin 2 h usw., cos h, cos 2 h usw. 
unter die Integralzeichen gebracht und darauf alle Integrale in ein 
einziges zusammengeiaßt, so kommt: 
2n 
sin h sin x + sin 2h sin 2x + ... + sin nh sin nx 
cos h cos x + cos 2h cos 2x ^ ... + cos nh cos nx 
dx. 
Da sin n h sin n x + cos n h cos n x nach Satz 103, S. 411, gleich 
cos n {x — h) ist, läßt sich hierfür schreiben: 
2 7t 
cp ih) = i J* fix) [i cos ix — h) + cos 2{x — /<)+...+ cos n ix — A)] dx.