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§ 4. Die Fourier sehe Reihe. 
Reihe auch für x — 0 und x = 2% Sprungstellen. Nach der vorhin 
gemachten Bemerkung ist der Wert der Reihe für x == 0 oder x = 2% 
nicht gleich f(0) oder f[2n), sondern das arithmetische Mittel. Ist 
z. B. f(x) gleich x, so bekommt die Reihe für x = 0 und x = 2n 
den Wert -|-(0 + 2n) oder %. 
Hat man für eine Funktion f(x) im Intervall von x == 0 bis 
x = 2n die zugehörige FouniEEsche Reihe berechnet: 
J / (#) = a + h x sin x -{- sin 2x + h z sin 3a: -f- .. - 
+ c x cos x + c 2 cos 2x -J- c 3 cos 3 a; + ..., 
so geht das Bild von f{x) durch Aufeinanderlagerung (vgl. S. 93) 
hervor und zwar aus dem Bild von y = a, d. h. einer zur ar-Achse 
parallelen Geraden, und aus den Bildern der Funktionen: 
(12) ¿jSinar, CjCosa:, ¿ 2 sin2a;, c 2 cos2a-, ¿ 3 sin3a;, c 3 cos3ar, ... 
Diese Bilder aber sind nach S. 420 u. f. lauter Sinus w eil en mit 
den Perioden 2%, |vr, usw. 
1. Beispiel: Wählen wir als Funktion f{x) im Intervall von 0 bis 2 n 
einfach x selbst, so gibt Satz 165: 
ferner mittels Teil-Integration (vg. S. 578): 
2 7t 2 71 
: 1 1 C 7 2 n 
X cos r 
X cos r X 
-} I cos rxd x — 
r J r 
7 I • 7 '-'WO 
no r = \ x sin rx a x — — 
J r 
0 
Ö 0 
0 
2 n 
J sin rx d x = 0 . 
x sin rx 
X Bin rx 
n c r = I x cos rx d x = + 
r 
•u 0 
0 
Also kommt für 0 < x < 2n: 
x = n — f sin x — f sin 2x — -f- sin 3a: — f sin 4x — ... 
Für x — 0 und x — 2n geht dagegen, wie zu erwarten war, der Wert n hervor. 
Für x = l-7r ergibt sich die schon im 7. Beispiel, S. 551, gefundene LEiBNizische 
Reihe. Außerhalb des Intervalls von 0 bis 27r stellt die Beihe die Funktion 
dar, deren Bild aus den Strecken in Fig. 397 besteht. Wir bezeichnen nun 
mit Voi Vxi Vii usw. die Funktionen: 
Vo = n, \ sin x, y 2 =~i sin 2®, y s = - fsin 3a;, = - f sin 4® 
usw. Die Bilder der fünf ersten sind in Fig. 398 (nächste Seite) gegeben. In 
dem man zuerst y 0 und y t addiert, alsdann dazu noch y 2 usw., d. h. jedesmal 
für beliebige Abszissen x die Summen der zugehörigen Ordinaten als neue 
Ordinaten aufträgt, erhält man die in Fig. 399 dargestellten Näherungskurven, 
die sich mehr und mehr der Geraden y = x anschmiegen. Man erkennt, daß