§ 4. Die Fouriersehe Reihe. 
633 
Man kann beweisen, daß die Koeffizienten b n und c n der 
FouBiERschen Reihe (11) für eine Funktion f{x), die den Dirichlet- 
schen Bedingungen genügt, für limw=oo stets nach Null streben. 
Da sie in der Reihe mit sin n x und cos n x multipliziert sind, deren 
absolute Beträge nie größer als Eins werden, streben also auch die 
Glieder der Reihe um so mehr nach Null, je mehr Glieder man 
berücksichtigt. Für Anwendungen genügt deshalb meistens die 
Ermittelung einiger der ersten Glieder der Reihe; und daß man 
dies graphisch tun kann, haben wir soeben gezeigt. Man hat auch 
Apparate hergestellt, die dasselbe mechanisch leisten. Sie heißen 
harmonische Analysatoren. Der Grund für diese Bezeichnung 
liegt in folgendem: 
Die Funktionen (12) können wir nach S. 422 u. f. als rech 
nerische Ausdrücke für einfache harmonische Schwingungen 
betrachten. Wir brauchen zu diesem Zweck nur x als die Zeit zu 
deuten und die Funktionen als die Ordinaten von Punkten, die 
längs einer y-Achse schwingen. Die Addition zusammengehöriger 
Ordinaten mehrerer einfacher harmonischer Schwingungen, d. h. 
ihre Aufeinanderlagerung haben wir auf S. 424 u. f. betrachtet. 
Allerdings wurden damals wohlbemerkt nur Schwingungen mit 
gleicher Periode ins Auge gefaßt, während hier sin n x und cos n x 
die primitive Periode 2 n:n haben. Damals sahen wir in Satz 112, 
S. 428, daß die Aufeinanderlagerung mehrerer einfacher harmonischer 
Schwingungen mit derselben Periode wieder eine einfache harmo 
nische Schwingung gibt. Das ist jetzt nicht mehr der Fall; viel 
mehr entstehen hier zusammengsetzte harmonische Schwin 
gungen. Wenn nun /'(*) irgend eine als FouRiERSche Reihe 
I darstellbare Funktion mit der Periode 2 % ist und y als Ordinate 
zur Zeit x gedeutet wird, führt ein Punkt nach der Vorschrift 
y = f(x) eine periodische Bewegung allgemeiner Art längs der 
y-Achse aus, also eine allgemeine Schwingung mit der Periode 2 %. 
j Jetzt sieht man, was die Entwicklung von f[x) als Fourier sehe 
Reihe bedeutet: Eine beliebige allgemeine Schwingung läßt 
sich aus unendlich vielen einfachen harmonischen Schwin 
gungen zusammensetzen. 
Mit der Berechnung der FouBiERschen Reihe wird also die 
Aufgabe gelöst, eine allgemeine Schwingung in ihre Kom 
ponenten, nämlich in lauter einfache harmonische Schwin 
gungen, zu zerlegen. Zerlegungsprozesse aber heißen bekanntlich 
Analysen. Hiernach ist die Bezeichnung harmonische Analy 
satoren verständlich.