Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
In der Natur treten mancherlei periodische Erscheinungen auf 
(z. B. Ebbe und Flut). Wenn ein Punkt bei einer derartigen Er 
scheinung Schwingungen längs einer Geraden macht, kann man von 
ihm auf einem mit Papier überspannten und gleichmäßig rotierenden 
Zylinder einer Kurve beschreiben lassen. Dabei wählt man die Um 
drehungsdauer des Zylinders entsprechend der Periode der Natur 
erscheinung. Breitet man das Papier auf der Ebene aus, so liegt 
eine Kurve vor. Indem man die ersten Koeffizienten der zu 
gehörigen Fourier sehen Reihe ermittelt, findet man diejenigen ein 
fachen harmonischen Schwingungen, aus denen sich im wesentlichen 
die beobachtete allgemeine Schwingung zusammensetzt. Man ist 
also imstande, die verborgenen einfachen Hauptursachen 
einer periodischen Erscheinung zu ermitteln. Hierin liegt 
die außerordentlich große Bedeutung der Fourier sehen Reihe. 
Allerdings haben wir bisher immer die Periode gleich 2 n an 
genommen. Das ist aber nach den am Anfang dieses Paragraphen 
gemachten Bemerkungen unwesentlich. Wir wollen jetzt annehmen, 
daß F{t) eine Funktion der Zeit t mit der Periode T sei, und um 
den allgemeinsten Fall zu betrachten, wollen wir überdies annehmen, 
daß eine Periode zur Zeit t = t 0 anfange. Dann setzen wir: 
t — t 0 _ x i , . . . T 
T ~ 2n ’ 
und führen hierdurch x als neue unabhängige Veränderliche ein. 
Dadurch geht F(t) in eine Funktion 
f(x) = f(i 0 + — x 
von x über, die von x — 0 bis x — 2 n auch alle diejenigen Werte 
durchläuft, die F{t) in der Zeit von t — t 0 bis t — t 0 + T annimmt. 
Die Koeffizienten der zu f(x) gehörigen FouRiERschen Reihe sind 
in Satz 165 angegeben. Setzen wir darin nach (13) 
x — 2 %' 
j 2 n j 
d x — —y- d t 
und beachten wir, daß jetzt t 0 und t 0 + T die Integralgrenzen werden, 
so kommt: 
<o + T 
io + T 
ff F{t)dt, K= ff F[t) sin W d t, 
<0 
= F{t)cos (r - 1. 2. 3,...!