§ 4. Die Fourier sehe Reihe. 
635 
und die Fourier sehe Reihe lautet: 
F (t) = a 
2. Beispiel: Die Funktion F(t) habe von t = —?i bis ¿ = 0 den Wert 
— t und von t — 0 bis t =-\- n den Wert ■+• 1. Da sie im Intervall von — n bis 
+ n nur eine Sprungstelle hat, genügt sie den Dirichlet sehen Bedingungen, 
so daß sie durch eine Fourier sehe Reihe darstellbar ist. Für beliebige 
Werte von t hat die Reihe das in Fig. 402 gegebene Bild, wenn t die Abszisse 
\ 
L 
-■j'ijy -'¿r o 
M Z'jc ÜX 4\ TC 
Fig. 402. 
ist. Hier hat man ^ — — T=2n zu setzen. Die Integrale (15) gehen also 
von t = — Ti bis t = + n. Da aber bei t = 0 eine Sprungstelle ist, werden die 
Integrale in Summen von je zweien zerlegt, wobei das erste von t — — n bis 
t = 0 und das zweite von t = 0 bis t = + n geht und im ersten F(t) = — 1, im 
zweiten dagegen F {t) — -f 1 zu setzen ist. Man findet dann ohne weiteres die 
Reihe: 
für jedes t zwischen 0 und n, und ebenso 
— = sin t + I sin 3 t 4- \ sin 5 t + ... 
für jedes t zwischen - n und 0. Für t= 0 geben dagegen beide Reihen 
den Wert Null, und dies ist das arithmetische Mittel von - 1 und + 1.