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Zwölftes Kapitel: 
Funktionen von mehreren Veränderlichen. 
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Zwölftes Kapitel. 
Funktionen von mehreren Verand erlichen. 
§ 1. Partielle Differentiation. 
Nachdem wir so ausführlich von Funktionen von nur einer Ver 
änderlichen gesprochen haben, wollen wir einiges über Funktionen 
von mehreren Veränderlichen in knapperer Form hinzufügen. Was 
eine Funktion von mehreren Veränderlichen ist, dürfte dem Leser 
ohne weiteres klar sein, denn da eine Erscheinung von mancherlei 
Ursachen abhängen kann, wird eine Größe, die zur quantitativen 
Bestimmung der Erscheinung dient, gesetzmäßig von einer Reihe 
von anderen Größen abhängen, also eine Funktion von ihnen sein. 
Vgl. S. 15 u. f. 
Betrachten wir vorerst eine Funktion von zwei unab 
hängigen Veränderlichen x und y. Wir setzen also voraus, 
daß jetzt nicht mehr wie früher y eine Funktion von x sei, viel 
mehr darf y ebenso wie x irgend welche Werte haben. Gehört 
zu jedem Wertepaar x,y ein bestimmter Wert einer dritten Größe z, 
so nennt man z von x und y abhängig oder eine Funktion der 
beiden unabhängigen Veränderlichen x und y, was man durch eine 
Formel 
* — fi x > y) 
zum Ausdruck bringt. So bedeutet z. B. f (3,5) den Wert, den z 
annimmt, wenn x = 3 und y — 5 wird. Die Fläche z eines Recht 
ecks ist eine Funktion der beiden Seitenlängen x und y, nämlich 
z = xy. Das Volumen z eines zylindrischen Gefäßes ist die Funktion 
%x 2 y des Radius x und der Höhe y des Gefäßes. Ein in der 
xy-Ebene wandernder Punkt (#; y) hat vom Anfangspunkt, wenn 
die x- und y-Einheit gleich groß sind, den Abstand z = ]/G 2 + y 2 , 
der eine Funktion der beiden Koordinaten des Punktes ist. 
Die Änderungen der beiden unabhängigen Veränderlichen x 
und y können wir uns, wenn sie 'auch beide ganz beliebig sind, 
doch immer nur zeitlich verlaufend denken. Wenn x nach und 
nach eine Reihe von Werten annimmt und ebenso y, brauchen wir 
schon zum bloßen Durchdenken dieser Wertereihen Zeit; wir stellen