Diese Formel gilt für die Funktion x = ]/ x 2 + y 2 , wie sich auch immer x und y 
unendlich wenig ändern mögen. 
§ 1. Partielle Differentiation. 
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uns also im Grunde x und y als Funktionen der Zeit t vor 
und zwar, da sich x und y beliebig ändern können, als beliebige 
Funktionen x = cp[t), y = xp(t) der Zeit t. Dann wird z oder f(x, y), 
wenn wir darin für x und y diese Funktionen der Zeit t einsetzen, 
ebenfalls eine Funktion der Zeit: 
z=f(cp{t), . 
1. Beispiel: Ein Punkt P oder (X, y) bewege sich in der Ebene, d. h. 
x und y seien unabhängige Veränderliche. Sind die Einheiten von x und y 
gleich groß, so hat P vom Anfangspunkt 0 die Entfernung: 
% = ]/x 2 + y 2 • 
Wie ändert sie sich, wenn sich P unendlich wenig bewegt, d. h. wenn sich x 
und y beide um unendlich kleine Größen ändern? Man lasse P irgend eine 
Bahnkurve durchaufen, indem man wie auf S. 510 
x = <p(t), y = y>{t) 
s§tzt. Dann wird die Entfernung % eia#*Punktion der Zeit allein: 
* = VI(p {t)f + [y (t)f. 
Ihr Differentialquotient ist nach der Kettenregel zu berechnen. Setzt man 
nämlich den Radikanden gleich so ist x = V w und 
dx dz dw _ 1 dw 
dt dw dt 2 1/w dt 
Der Radikand w ist eine Summe u -h v, die gliedweise differenziert wird. Nun 
hat u — [cp (i)] J den nach der Kettenregel zu berechnenden Differentialquotienten: 
d u 
d t 
d u. 
dcp 
d cp 
d t 
2 <p(t)cp' if). 
Ebenso hat v den Differentialquotienten 2 ip (t) ip' (t), so daß w = u -f- v den 
Differentialquotienten 2 cp (t) pp' (f) + 2 yj{t)ip'(t) hat. Daher kommt: 
d% _ cp jt) cp' (t) + ip (f) ip' jt) _ 
dt ]/[<*> (¡f)P + [VW? 
Diese Formel, die dx liefert, ist noch unvollkommen, weil sie nur für die 
jenige Bewegung des Punktes P gilt, die dem Gesetz x = cp {t), y = yj (t) 
folgt. In der gestellten Aufgabe, die Änderung von % — OP bei einer unend 
lich kleinen Bewegung des Punktes P in der Ebene zu ermitteln, war von diesem 
Gesetz keine Rede. Man muß deshalb das Ergebnis von diesen besonderen An 
nahmen befreien. Das ist leicht, denn es ist dx : dt = cp'(t), dy: dt = y>' (t). 
Setzt man diese Werte für cp' (t) und y>' (t) ein und ebenso x und y für cp (if) 
und yj{t), so hebt sich beiderseits auch dt fort und es kommt: 
(1) 
dx = 
xdx + y dy 
V x 2 + y 2