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688 Zwölftes Kapitel: Funktionen von mehreren Veränderlichen. 
In dem Beispiel ist ein besonderer Fall einer Aufgabe gelöst, 
die wir jetzt allgemein in Angriff nehmen: 
Gesetzt, z = f(x,y) sei eine stetige Funktion der beiden 
unabhängigen Veränderlichen x und y, d. h. sie erfahre, 
wenn sich x und y unendlich wenig ändern, ebenfalls eine 
nur unendlich kleine Änderung. Wie drückt sich dann ihr 
Differential dz durch x und y und durch die Differen 
tiale dx und dy aus? 
Zur Beantwortung dieser Frage wollen wir zunächst nur x 
um dx ändern, während y ungeändert bleibe. Während 
dieser Betrachtung isty als eine Konstante zu behandeln (vgl. S. 15), 
also z = f(x, y) als eine Funktion von x allein, in der noch eine 
beliebig wählbare Konstante y vorkommt, gerade so wie z. B. in 
sinaa- noch die Konstante a. Diese Funktion z = f(x,y) von x sei 
differenzierbar. Ihren Differentialquotienten, der nach den bekannten 
Regeln zu berechnen wäre, wollen wir nicht wie sonst mit dz:dx 
bezeichnen, denn dz bedeutet jetzt keine beliebige unendlich kleine 
Änderung von z, sondern eine Änderung, die z, erfährt, wenn sich 
nur x um dx ändert, während y ungeändert bleibt. Um diesen 
Unterschied zu betonen, spricht man daher vom partiellen Diffe 
rentialquotienten von z nach x und bezeichnet ihn mit dz:dx 
statt mit dz: dx. 
Wir sehen also: Wenn sich nur x um dx ändert, y aber un 
geändert bleibt, ist die Änderung von z zu berechnen, indem man 
z partiell, d. h. so nach x differenziert, als ob y konstant 
wäre, und diesen Differentialquotienten dann mit dx multipliziert. 
Die Änderung von z ist somit: 
d z 
d x 
dx. 
Wenn z. B. z = ]/x 2 + y 2, ist, berechnet man dz.: dx, indem man 
die Funktion wie die Funktion ]/x 2 + c 2 nach x differenziert. Hier 
geht x: j/a; 2 -f- c a , also bei der partiellen Differentiation von z nach x 
der Wert x: ]/# a ■+ y 2 hervor, so daß 
]/x 2 + y 2 
dx 
der Zuwachs ist, den z = ]/x 2 + y 2 erfährt, wenn x um dx wächst 
und y ungeändert bleibt.