§ 1. Partielle Differentiation. 
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Was wird nun hieraus, wenn At nach Null strebt? Da x und y die 
Funktionen cp und ip von t sind und ferner z in der Form z = f(x,y) 
von x und y abhängt, ist auch z eine Funktion von t. Deshalb 
geht links im Fall \imAt=0 der Differentialquotient dz: dt 
hervor. Rechts treten die Faktoren Ax:At und Ay.At auf. Sie 
gehen • für lim At — 0 in die Differentialquotienten dx : dt und 
dy.dt über. Also ist: 
d ~ = lim + Ax ' v + AyS> ~ y + Ay ^ dx 
dt ¿j£=o Ax dt 
, li m /Xa, y + Ay)- f{x, y) _ dy _ 
' A t=0 Al J dt 
Da Ay mit At nach Null strebt, weil y eine stetige Funktion von t 
sein soll, ist der zweite hierin auftretende Grenzwert genau der 
selbe wie in der zweiten Formel (2), also gleich dz:dy. Auch Ax 
strebt mit At nach Null. Der erste in der letzten Gleichung noch 
vorkommende Grenzwert ist daher gerade so wie der erste Grenz 
wert in (2) beschaffen, denn obwohl in (3) nicht y, sondern y + Ay 
steht, strebt doch auch y + Ay nach y. Daher wird der erste 
Grenzwert in (3) gleich dz:dx. Also gibt (3): 
dz __ dz clx dz dy 
dt d x dt dy dt 
oder, wenn man die Gleichung mit dt multipliziert: 
(4) iz = ^dx+^dy. 
Diese Formel ist frei von der Hilfsveränderlichen t. Sie 
besagt: 
Satz 166: Das Differential einer stetigen Funktion z 
von x und y ist gleich der Summe der mit den partiellen 
Differentialquotienten dz:dx und dz:dy multiplizierten 
Differentiale von x und y selbst: 
, dz 7 , dz j 
dz — ~^ dx —dy, 
dx dy * 
vorausgesetzt, daß die partiellen Differentialquotienten 
dz:dx und dz:dy überhaupt vorhanden sind. 
Man nennt eine stetige Funktion z von x und y differen 
zierbar, wenn es partielle Differentialquotienten dz:dx und 
dz: dy gibt. 
Der Satz 166, der außerordentlich wichtig ist, kann noch in 
Scheffers, Mathematik. 4. Aufl. 41