ist nach der für dx aufgestellten Formel 
MfiMBiii 
642 Zwölftes Kapitel: Funktionen von mehreren Veränderlichen. 
einer anschaulicheren Art ausgedrückt werden: Wenn sich nur » 
ändert, dagegen y nicht, erfährt z den Zuwachs 
d x i 
~d^ dx ' 
ebenso, wenn sich nur y ändert, dagegen x nicht, den Zuwachs 
8y 
wie wir oben sahen, wie aber auch aus (4) folgt, wenn man darin 
dy oder dx durch Null ersetzt. Die Summe dieser beiden Werte 
ist aber der Wert (4). Deshalb können wir sagen: 
Satz 167: Die Zunahme, die eine stetige und differen 
zierbare Funktion z von x und y erfährt, wenn x um das 
Differential dx und zugleich y um das Differential dy zu 
nimmt, ist gleich der Summe derjenigen beiden Zunahmen, 
die z erfahren würde, wenn x allein um dx oder y allein um 
dy zunähme. 
Der Wert (4) von dz heißt das vollständige Differential 
der Funktion z von x und y. 
4. Beispiel: Ist » = l/» 2 + «/ 2 , so wird dx: dx — x : J/» 2 + y 2 und ent 
sprechend dx: dy = y : ]/» 2 + y 2 . Also kommt: 
xdx + y dy 
wie sich schon im 1. Beispiel unter (1) ergab. Sind x und y wie dort die 
rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes P in der »«/-Ebene bei gleicher 
x- und «/-Einheit, so stellt x seinen Radiusvektor r = OP dar. Wir machen 
eine einfache Anwendung: Um die Entfernung r des Punktes P von 0 zu 
ermitteln, kann man die Abstände x und y des Punktes P von der «/- und 
»-Achse messen und mittels des Pythagoras daraus r — ]/x 2 + y 2 berechnen. 
Aber » und y sind bei der Messung mit Fehlern behaftet, die man ihrer 
Kleinheit halber wie Differentiale dx und dy behandeln kann. Dann aber 
hat man 
]/(» + dx) 7 + («/ + dy) 2 
berechnet, und dies ist nicht r, sondern r + dr, wo dr den Zuwachs be 
deutet, den r = ]/» 2 4- y 2 erfährt, wenn » um dx und y um dy wächst. Der 
Fehler in der Berechnung von «*, nämlich