644 Zwölftes Kapitel: Funktionen von mehreren Veränderlichen. 
7. Beispiel: Ein zylindrisches Gefäß soll einen Radius von rem 
und eine Höhe von h cm haben, wird aber nicht genau in diesen Maßen her 
gestellt; die Fehler seien jedoch so klein, daß sie als Differentiale dr und dh 
zu betrachten sind. Sie bewirken nach (4) den Fehler des Volumens V—nFh'- 
dV = 2 it r h dr + n r 2 dh =ti r (2 h dr + r dh). 
Der relative Fehler ist 
dV „ dr dh 
-pf- =2—■ + -r- • 
I- r h 
Wir gehen jetzt zur Betrachtung von Funktionen von mehr 
als zwei unabhängigen Veränderlichen über. Die Anzahl 
der Veränderlichen sei «; die Veränderlichen mögen mit x v x 2 , ... x n . 
bezeichnet sein. Es sei also 
2 = f{* v xj 
eine Sanktion der n unabhängigen Veränderlichen x v x v . . . x n . Wir 
glauben, es erübrigt sich hier, die entsprechende Betrachtung in 
voller Breite wiederzugeben. Der partielle Differentialquotient 
von z nach einer der n Veränderlichen, nach x. etwa, also die Größe 
d z\dx i , bedeutet denjenigen Differentialquotienten, den z als Funk 
tion von x { hat, wenn alle Veränderlichen mit Ausnahme von x. 
fest bleiben. An die Stelle der zweigliedrigen Summe (4) tritt hier die 
«-gliedrige: 
8 % 
8 x x 1 8 x 2 
Die Funktion z = f{x v x v ... arj nennt man differenzierbar, 
wenn alle n partiellen Differentialquotienten von z nach x v x v . . . x n 
wirklich vorhanden sind. Die wichtige Formel (5) läßt sich daher 
so ausdrücken: 
Satz 1 168: Der Zuwachs, den eine stetige und differen 
zierbare Funktion z von x v x 2 , ... x n erfährt, wenn alle «Ver 
änderlichen x 1 , x 2 , . . . x n zugleich um Differentiale d x v 
dx v . . . dx n wachsen, ist gleich der Summe aller derjenigen 
n einzelnen Zunahmen, die z erfahren hätte, wenn nur x l bzw. 
nur x n .... bzw. nur 
wachsen wäre. 
Der Ausdruck (5) von dz heißt das vollständige Differen 
tial der Funktion z von x v x v ... x n . Ihm stehen die par 
tiellen Differentiale von z gegenüber; insbesondere ist 
8: 
das partielle Differential, um das z wächst, wenn sich nur x { 
um dx. ändert. Den Satz 168 können wir auch so aussprechen: