646 Zwölftes Kapitel: Funktionen von mehreren Veränderlichen. 
Mit Rücksicht auf Satz 103, S. 411, läßt sich also der Fehler von l so schreiben: 
,, sm a sm p , c , . „ a i . „ 
dl = —— 7 —-—77- • de ■{ -.—¡r-, 7— (sin 2 ß . da + sm 2 a . dß). 
sm (a + ß) sin 2 {a + ß) 
Der relative Fehler ist: 
dl _ de 1 
l e sin (a + ß) 
sm ß , srno .. 
■ -- da + . ■ ■ d ß 
sm a sm p 
Die Formel für das vollständige Differential einer Funktion von 
mehreren Veränderlichen kann man auch benutzen, um verwickel- 
tere Funktionen von nur einer Veränderlichen zu diffe 
renzieren. Das ist eine sehr einfache Anwendung, die wir hier 
einschalten wollen: Angenommen, y sei eine Funktion von x, aber 
von umständlicher Form, wie z. B. 
y = (sin xj %n) . 
In diesem Beispiel wäre es übersichtlicher, y — u v zu schreiben 
und erklärend hinzuzufügen, daß w = sinx und v = x n sein soll. 
Allgemeiner gesagt: Unter y sei eine Funktion von zwei Größen u 
und v verstanden, die ihrerseits Funktionen von x seien. Demnach 
liege also vor: 
y = F[u,v), 
und u und v sollen hierin Funktion von x bedeuten. Dann ist y 
auch eine Funktion von x, und ihren Differentialquotienten können 
wir so finden: Ändert sich x um dx, so werden sich u und v, weil 
sie von x abhängen, um ihre Differentiale du und dv ändern. Also 
ist y — F[y,j v) eine Funktion von zwei Größen u und v, die sich 
um du und dv ändern. Nach der Formel (4) für das vollständige 
Differential, worin jetzt z und x, y durch y oder F und u, v zu er 
setzen sind, ist die zugehörige Änderung von y. 
, 8 F , . 8 F , 
du — -x— du —r— d v . 
^ du 0 v 
Daher ist der Differentialquotient von y: 
dy 
dx 
dF du 8F 
du dx 8 v 
d v 
dx 
Wir können dies sofort verallgemeinern: 
Satz 170: Ist y als Funktion von x so gegeben, daß zu 
nächst y als eine Funktion F von mehreren Größen u, v, 
w... vorliegt, die selbst Funktion von x sind: 
y — F (u, v, w ...),