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Zur Reduction elliptischer Integrale. 
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und folglich 
x — y x » — 2/o 
als äquivalente Integralgleichungen*). 
Schreibt man 
t _ hvl + 2M 0 y 0 + N u -£ 0 
2[x ü -yS 2 
so wird 
grj = Ly 2 -+- 2 My + N — 2 e (x — y)* 
folglich 
t{Ai/ 2 4- 2My + N-e(x — y) } = —7 4- L . 
4 [x — y] 
= A i x‘ i y‘ i 4- 2B A xy [x4-y) 4- -- (C~ — AE) (x — y) 2 4- tC A xy 4- 2D l (x-\-y) 4- E l 
Hieraus bestimmen sich die Verhältnisse der Coefficienten abc.. 
mittelst der Gleichungen 
ae x = A 4 —Ae , bs l = a A e i = B A — Be 
ce A = a i e i = — (C' 2 — AE) — Ce + € 2 
fr.«, = T ^ “ T — AE) — Ce — ^ e* 
ee i = E A — Es , c 4 e 4 = = D A —De 
und die Substitution == -—— geht über in 
Q 
_ e t // - (ß, - ßfi) */* - 13 C 4 - l [C/~ A E) -2 Ce- £ “ 2 ] y - [D, - De) 
[A t - A e) y* + 2 {B i -Be)y + \{C' i —AE)— Ce 4- t 2 
*) Durch Vertauschung von y und y 0 gehen auch die ferneren Gleichungen 
^1^2 — S2 Vi y% — S2 b\ 
X ~V 0 
x ü~y 
/ ~»X ny 
±/=o hervor. Euler und Lagrange haben bekanntlich das voll- 
■»o ,7 2/o 
(£ fä (J y 
ständige Integral der Differentialgleichung h — — 0 a uf jj e Form gebracht 
~ i V 
(—)‘ = 
\x — yl 
A[x~f- ?/ ' + 4 // (er + ?/ -I- const. 
wo die Integrationsconstante = (2^— C 1 —ac i , wenn 
f [ x y) = (IX 2 y- -+- 2b xy [x 4- y) -I- c (x 2 4- >/) 4- 4 6 4 xy 4- 2 [x 4- y) 4- c s = O