ZiR Reduction elliptischer Integrale.
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u. s. w. Führt man daher
VI — X 2 sin 2 cp == z/(qp,x) = z/(¡p ,
x — sin cp ,
y = sin Ip
XX -+- X'x ' =
ein. so entspringen die Transfonnationsforineln
cos(/)z/i/) 0 + coscp 0 Jcp _ cosipJip 0 -{- cosi/> ( ,z/</>
sin cp — sin r/) 0 sin ip — sin i/;„
sin (// — sin i// (
COSCp Jl¡> + COSlp^Jcp COSCp ü ¿Jlp tí ■+• COSi/^z/f/y,
sin (/> — sin ifj sill(jP 0 — sini// e
COS (p z/ i/% — cos ip 0 /1 cp
sin cp — sini/%
COS 1// z/ </>„ — COS (p u z/ ip
sin ip — sin (p {l
oder mit Benutzung der Identität
[cOSCp Jcp ü -+- COS Cp^Jcp) [cOSCp/J(p ü — COS Cp^/J Cp) — X V(sin S (/> 0 — sin" 2 ip)
COS (p J cp 0 — COS cp ti z/ (/) _ COS t/>z/ !/>„ — COS lp u z/ lf)
sin cp + sin</> (
sin ll> -+■ sin i/>.
COSCp J Ip — COSipJ Cp _ COS</> u z/(/%— COSlf> 0 z/(p t
sin (p -+- sin sin (/)(, -f- sin !//„
COS í/i J \p 0 -+- COS lp ü J ip _ COS ip z/ CpQ + cos cp ü 1 ip
sin cp -+- sin t// 0 sin ip -+- sin (/;„
durch welche die Integrale
oder
in einander übergehen.
Man kann die gefundenen Ausdrücke auch als Additionsformeln
für die Integrale
ansehen und mit Wegschaffung der Nenner auf die Form bringen
COS ip sin lpJcp 0 — COS Cp v sinip^Jcp = sin ip COS i/iz/li;,, — sin i/iy COS ip§<d U>
coscp s\nip 0 ¿Jcp (l — COS cp 0 sin lpJip = s\x\ cp ü COS lp¿Jlp ü — sin cp COS lp n J ip
cos tft 0 sin ifiJcp u — cos (/; sin ip„Jtp = sin cp cos r/> 0 z/ ip (i — cos cp sin rp 0 Jip
sin ip COS il> n Jcp„ — sin cp 0 cos If/Jtp = COS f/) 0 sin ll’Jlf'u — COS cp sin
sin ip COS lpj<p { , — sin cp b COSlf\ t Jip = cos tp sin xpjxp^ — COSip 0 sin lp 0 Jlp
cos\psimp 0 Jcp 0 — sin IP cos ip 0 Jcp = coscp sm cp 0 Jip ü — sin cp cos cp^Jip