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Zur Reduction elliptischer Integrale. 
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Abliandl. d. K. S. Gesellsch. d. Wisseusch. XX. 
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siiu/) cos/z// + cos(p sin/z/i/ 
COSÌ/) COS/ — siili/) sin/z/ì/z// 
sinrp COS i/z// -+- sin / cos/z/i/ 
sin"/ — sin "i/ 
sin/cos/z/i/ ~ sini/)così/) z// 
sin </) COS/z/</ ■+■ COSÍ/' SÌll/z// 
cos" cp cos' 2 / — /'/' sin" 1/ sin'/ cos cp COS / z/ tf zt / — /.'//sin (f sin/ 
und es ist nicht schwer, sich von der Uebereinstimmung dieser 
Ausdrücke mit den seit Euler und Jacobi liekannten Additionsformeln 
zu überzeugen. 
Die obigen Gleichungen gehen in die bekannten trigonometri 
schen Formeln eines sphärischen Dreiecks mit den Winkeln </, /, 
7T — ip und den gegenüberstehenden Seiten u, v, w über, wenn 
I — cos U COSD COS IV 
X 
I — cos cp COS/ COS lfl 
folglich 
sin IC = / sin ip 
coste = z/ i/i 
Sin U = / Siili/ 
COS li = z/í/ , 
sinV — /sin/ , 
COS V = z// , 
gesetzt werden. 
Wenn man ip mit tt—ip vertauscht, so nimmt der eben be 
wiesene Satz eine bemerkenswei the Form an, sofern die Gleichung 
ersetzt werden kann. Während beim ebenen Dreiecke mit den 
Winkeln </, /, w für x — siili/, y = sin/, z = sinxp 
ist, so erhält man beim sphärischen Dreiecke mit den Winkeln 
(/, /, ip und den gegenüberstehenden Seiten u. r, w» für x — sint/, 
i/ = sin/, z — siinp die Gleichung 
n(p \ f x \ l ,lp d( P 
o 'h Jo J{<P*) 
WO 
/ 
i — cosi/ cose co Sic 
i 4- cosi/ eos / eos i¡> 
oder 
Sin.W Siil i’ SUI li 
si 11 i/ sin/ sin i/i 
und 
gesetzt ist.