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Zur Reduction elliptischer Integrale. 
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zu setzen, wodurch 
o V 
dtp 
'1 — Ä 2 ) cos“fp •+■ (À — ÁJ sin 2 fp 
liebst 
2 — k t _ u-d-b — c __ 23 — ® 
x “ ~ a-c-b — d “ « 
hervorgeht. Hieraus folgt, dass das jetzige Resultat von dem des 
vorigen Beispiels nicht wesentlich verschieden ist. 
Zum Schlüsse dieses Abschnittes möge noch Erwähnung finden, 
dass in gewissen Fällen die in Bezug auf x und y den zweiten Grad 
nicht übersteigende Gleichung fix,y) = o auch einer Differential 
gleichung von der Form 
Genüge leisten kann, ohne dass £ und ?j gleiche Invarianten besitzen. 
Als Beispiele wählen wir die in den Artikeln 20, 23 und 27 zur 
Erreichung der Normalform angewandten Substitutionen, ferner die 
Gauss-LAGRANGE’sche Substitution für das arithmetisch-geometrische 
Mittel und die Substitution für den Uebergang zum complementären 
Modul. 
Von den Substitutionen der Artikel 20 und 23 genügt es, die 
Wertlie 
y = cos(p , dip , tg'(p und —sin 2 cp 
zu betrachten. Die übrigen Fälle können nichts Neues geben, weil 
nicht allein die Substitutionen und , wie leicht zu sehen, 
für x — sintp die Invarianten ungeändert lassen, sondern auch das 
Gleiche eintritt, wenn man ay oder a an Stelle von y einführt, 
wo « eine beliebige Constante bedeutet. Sei demnach 
x + y = i 
dx 
dH 
so folgt