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Zur Reduction elliptischer Integrale. 
Ilo 
wenn man das elliptische Differential verdoppelt, wodurch A mit 
4, G mit 4 4 und II mit 4 3 multiplicirt werden. 
Die reciproke Substitution geht hervor, wenn man x mit y und 
/ mit 1 ~ A vertauscht. Dadurch folgt mittelst 
1 4- x 
^ _ m—n _ £c — y g 
m 4- n x(xy — 1) 
/--r doa ru dy 
h VE I — x*) I — xV 2 ' */• K/i ' 1 — //■ ( 1 + X * — 4 X// 2 ) 
wo 
3t(5 = 4E“x(1 4- x ’ = — 3 t 1 ' ? 31 4- ($ = E(i 4- 6 x 4- x } = 6p 
Durch Substitution der Werthe von ZTV und E(i+*') erhält man 
£x = p — A , E(1 4- x 4 ) = 2 (2 A 4- fc) 
G — 3 A 4 = (p — A) “ , & — 3p 2 = 8 (p — A) (2 A 4- p) 
wie oben, wenn A und //, G und © vertauscht werden. Die For 
meln zeigen, dass jedem Werthe von A zwei Werthe von p, und 
umgekehrt, entsprechen. Durch Elimination von p erhält man jetzt 
(11 G — &)“ = 6o).'(2ÖG — ($ — 60A 4 ) 
u. s. w. 
32. 
Die Substitution des complementären Moduls endlich steht wie 
folgt. Aus 
X^y" — X'+y (9) 
ergibt sich 
f x dx /V dy 
^ VE (1 — x 1 ) (1 — x*x i ) 'ly VE [y % — 1 1 — x 'x'//" 
Hier sind die Gleichungen 
E % x' = G — 3 A 2 , E[ 14- x 4 ) = 6 A 
£V 4 = ©-3p* , E(i 4-x' 4 ) = -6p 
zu combiniren. Man erhält sogleich 
== 2 ; A — p) , (I 4- X j = I 2 AA — pj = (» — 3A 4- 4 (A — p