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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven. 
und daher wird die Differenz, nämlich: 
yit* + 1 ) + X ) 
(3) Y- r t - t—- T ji — (Axy + '+ B 
>+2' 
R' 
M + 2> 
an der Stelle x, d. h. für lim Ax = 0, mit Ax in der y-\- l ten 
Ordnung gleich Null. 
Die letzte Gleichung liefert uns eine geometrische Defini 
tion für die Zahl y, die Ordnung der Berührung. In Fig. 44 
soll OP = x, PP — Air sein. Ferner sollen M' und m die 
zur Abszisse x -f Ax gehörigen Punkte beider Kurven sein, 
d. h. P'M'= Y, P'm = Y,, so daß Y — Y x = mM' ist. Es 
wird also mM' mit Ax in der Ordnung y 4- 1 gleich Null, 
d. h. es ist 
lim 
pp’ = o 
mM' 
pp'f 1 + 1 
endlich und von Null verschieden. 
Um nun noch die Strecken mM' und PP' durch solche 
zu ersetzen, die eine vom Koordinatensysteme unabhängige 
Bedeutung haben, verschieben wir den Anfangspunkt der Koor 
dinaten in den Punkt M und machen die Tangente t in M zur 
x-Achse. Wenn wir die Koordinaten in dem neuen Systeme 
mit überstrichenen Buchstaben bezeichnen, so bestehen in bezug 
auf die erste Kurve Gleichungen von der Form: 
x = x cos a + y sin a + a, y — — x sin a -f y cos a -f b. 
Bedeuten y', y" usw. die Ableitungen von y nach x, so folgt, 
daß 
dy —sin cc -f- y cos a 
y dx cos u -(- y sin Ci 
ist und daß sich allgemein y№ durch y, y", ■ ■ yW ausdrückt. 
Genau ebenso drückt sich bei der zweiten Kurve y^ n \ d. h. 
die n ie Ableitung von y x nach x, durch y x y x ",‘--y x ^ aus. 
Infolge von (1) und (2) ist also auch in dem neuen Koordi 
natensysteme für den Punkt M: 
Vx = V, Vx = y, • • • = y {fl \ ¥i f ' + 4= +1} - 
Iu dem neuen Systeme ist anstatt mM' die Strecke M x M 
senkrecht zur Tangente mit dem Fußpunkte Q und anstatt 
PP' die Strecke MQ zu nehmen. Diese beiden Größen aber 
haben eine von dem Koordinatensysteme unabhängige Bedeutung. 
*¿14]