§ 2. Partielle Differentialquotienten 99 
Differentiale erster Ordnung haben, die hervorgehen, wenn wir 
x, y, z neue Differentiale h 2 , k 2 , l 2 vorschreiben. So z. B. ist 
Z y I 
dasjenige Differential der zweiten in (1) angegebenen Funk 
tion, das hervorgeht, wenn dem z das Differential l 2 erteilt wird. 
Es ist also 
= c^ihjy) = k x c^f y . 
Nach der dritten Formel (1) aber ist, wenn wir darin f durch 
f und \ durch l 2 ersetzen: 
Wfy = hfyz’ 
so daß kommt: 
Gilt Satz 4 von Nr. 65, so hat dies Differential denselben Wert 
wie das Differential: 
№)№=l 2 hf . 
y z A H zy 
Die partiellen Differentiale erster Ordnung, die man von 
den partiellen Differentialen erster Ordnung (1) von f in dieser 
Weise bilden kann, heißen die partiellen Differentiale zweiter 
Ordnung von f. Yon ihnen, die ja wieder Funktionen von 
x, y, z sind, kann man abermals partielle Differentiale erster 
Ordnung bilden, indem man je einer der Veränderlichen x, y, z 
ein Differential h s bzw. k 3 bzw. l z erteilt, wodurch man zu den 
partiellen Differentialen dritter Ordnung von f gelangt, usw. 
Ein bestimmtes partielles Differential w ter Ordnung von f 
entsteht also, wenn man in bestimmter Reihenfolge dem x 
etwa die a Differentiale h 1} h 2f ... h at dem y die ß Differentiale 
k 1} k 2 , . . . kp und dem z die y Differentiale l 1} l 2 , . . . l y erteilt, 
wobei u -f- ß -f- y = n sein soll. In welcher Reihenfolge man 
auch vorgehen mag, immer nimmt dies Differential infolge des 
Satzes 4 von Nr. 65 den Wert an: 
h x h 2 . . . li a Jc x k 2 . . . kß l x l 2 . . . ly f x a y p z y • 
Wählt man alle Differentiale h x , h 2 , . . . h a von x gleich ox, 
alle Differentiale k x , k 2 , ... k i von y gleich cy und alle Differen 
tiale l l} l 2 ,. . . I von z gleich dz, so können wir das partielle 
Differential n tei Ordnung kürzer so bezeichnen: 
7 
[66