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Kap. III. Höhere Differentialquotienten usw. 
rtl f 
°x“yß z rl ’ 
w0 a _|_ ß _(- y = n ist, und es hat den Wert: 
bedeuten dx a , dy#, cZ Y Potenzen von dx, 'ey und dz, 
während links keine Potenz steht. Es folgt: 
lx a yfizY — cx a c y^ CZ Y ’ 
w0 n = a + ß + y ist. Aber rechts brauchen im Zähler die 
Indizes x a , yP, z Y gar nicht angegeben zu werden, da der 
Nenner schon andeutet, daß das Differential a-mal hinsicht 
lich x, ß-mal hinsichtlich y und y-mal hinsichtlich z zu bilden 
ist. Man schreibt daher einfacher: 
(2) 
JF + P_+Yf 
t^yßzY fìx a d yP dz Y 
Dies ist eine für die partiellen Ableitungen sehr gebräuch 
liche Schreibweise; sie sind hier als Quotienten von partiellen 
Differentialen, als sogenannte partielle Differentialquotienteil von 
der Ordnung a + ß -f y, dargéstellt. Aus (2) folgt: 
e a+ P +Y f=f x a vl i, Y dx tt cyt i dzr, 
d. h. das partielle Differential {a -\- ß + y) ter Ordnung von f{x, y, x) 
ist gleich der entsprechenden (a -f- ß + y) ten partiellen Ableitung 
von f, multipliziert mit den zugehörigen Potenzen der Differen 
tiale dx, dy, cz. 
Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß Entsprechendes 
gilt, wenn die Funktion f nicht gerade you drei unabhängigen 
Veränderlichen abhängt. Wir erwähnen noch, daß, wenn f 
eine Funktion von nur einer Veränderlichen ist, statt des Zei 
chens c das Zeichen d benutzt wird, wie es ja im vorigen 
Kapitel geschah, und daß man dann statt von partiellen von 
gewöhnlichen Differentialen und Differentialquotienten spricht. 
67. Partielle Differentialquotienten als Grenzwerte 
von partiellen Differenzenquotienten. Wenn wir wieder 
der Einfachheit halber unter f eine Funktion von nur drei 
Veränderlichen x, y, z verstehen, nennen wir partielle Dif 
ferenzen erste)' Ordnung der Funktion f diejenigen Zunahmen, 
66, 67]