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Kap. III. Höhere Differentialquotienten ubw. 
67, 68] 
—ir-TTr = y + e + n^*), 
Jx Jy 1 4z r 
wo 6, ff, 7] positive echte Brüche sind. Ist die (a + ß + y) te 
Ableitung von f insbesondere an der betrachteten Stelle (x, y,z) 
stetig, so ergibt der Grenzübergang \\mAx = Q, limz/y==0, 
lim Az = 0, daß der Grenzwert des Differenzenquotienten gleich 
dem entsprechenden Differentialquotienten ist. 
Dasselbe ergibt sieb natürlich für Funktionen f, die nicht 
gerade von drei Veränderlichen abhängen. 
§ 3. Differentiation der zusammengesetzten Funktionen. 
68. Höhere Differentialquotienten zusammenge 
setzter Funktionen von einer Veränderlichen. In diesem 
Paragraphen wollen wir ein für allemal voraussetzen, daß alle 
vorkommenden Funktionen für die gerade betrachteten Werte 
ihrer Veränderlichen die folgende Forderung erfüllen: 
Forderung 33: Die Funktionen und alle ihre Ableitungen, 
soweit sie Vorkommen, sind in der Umgebung der betrachteten 
Wertsysteme stetig. 
Es sei nun 
y = f(u, v,w,.. .) 
eine Funktion der Größen u, v, w, . . ., die ihrerseits Funktionen 
einer einzigen Veränderlichen x seien, so daß y ebenfalls eine 
Funktion von x ist. Wir stellen uns die Aufgabe, ihre Diffe 
rentialquotienten zu berechnen. Wie in Nr. 32 bezeichnen wir 
die ersten Differentialquotienten von u, v, w, . . . kurz mit 
u, v', w, . . .. Ebenso sollen u", v", w", . . . ihre zweiten Diffe 
rentialquotienten bedeuten, usw. Dies sind gewöhnliche Diffe 
rentialquotienten (vgl. Nr. 66). Nach Satz 22 von Nr. 42 kommt: 
, df , . df , . df , . 
y = -~u -P ~ v -fPw-f 
v du dv • 
dw 
Jedes Glied auf der rechten Seite ist ein Produkt von zwei 
Faktoren, gibt also bei nochmaliger Differentiation nach der 
Produktregel zwei Summanden. Ordnen wir die ersten Sum 
manden in der oberen und die zweiten in der unteren Zeile 
zusammen, so kommt: