§ 4. Vollständige Differentiale 
111 
U — a 11 X 1 + ^12^2 a \n X n + C \ J 
V = «21^1 + «22^2 H f- «2 A + C 2 , 
W = + a 32 ^2 H + 0*«®« + c z , 
von n Veränderlichen x 1} x 2 , . . . x n , so kann man die Formel 
für eine partielle Ableitung m ter Ordnung 
d m f 
^0 a + ß + ... + v = m Kt, 
so finden: Man rechnet das Produkt 
(toi + toi h ) a (tos + tos ■+—Y (to» + to» h—) v 
aws ersetzt alsdann jedes darin vorkommende Produkt 
fZ fl •• • durch die entsprechende Ableitung m ter Ordnung 
c m f 
du p dv q ... 
§ 4. Vollständige Differentiale. 
74. Das vollständige Differential erster Ordnung. 
Auch in diesem Paragraphen setzen wir voraus, daß die vor 
kommenden Funktionen der in Nr. 68 angegebenen Forderung 33 
genügen. 
Es sei nunmehr f eine Funktion von n unabhängigen 
Veränderlichen x x , x 2 , . . . x n . Wir haben in Nr. 66 ihre par 
tiellen Differentiale erster Ordnung definiert. Erteilen wir 
x x , x 2 , . . . x n bzw. die Differentiale dx x , dx 2 , . . . dx n , so sind 
diese partiellen Differentiale die Größen: 
8f_ 
dx x 
dx t , 
f • • • 
Ti * 
Unter dem vollständigen Differential df von f versteht man 
die Summe dieser partiellen Differentiale: 
№ d f=ü dx ’- + §i, dx * + -- + il dx «- 
Ist die Funktion f für alle Werte von x 1} x 2 , ... x n , die 
innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches liegen, konstant, 
so ist einzeln nach Satz 4 in Nr. 29: