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Kap. III. Höhere Differentialquotienten usw. 
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also auch das vollständige Differential df gleich Null. Um 
gekehrt: Wenn das vollständige Differential df innerhalb jenes 
Variabilitätsbereiches überall gleich Null ist, müssen einzeln, 
da dx 1} dx 2 , . . . dx n willkürliche Größen sind, alle n 
Gleichungen (2) bestehen, die nach Satz 5 in Nr. 29 aussagen, 
daß sich f nicht ändert, wenn sich nur x l ändert, ebenso nicht, 
wenn sich nur x 2 ändert, usw. 
Hieraus aber läßt sich folgern, daß f überhaupt im Varia 
bilitätsbereiche konstant sein muß. Dies soll im Falle einer 
Funktion f(x, y) von nur zwei Veränderlichen x, y näher aus 
einandergesetzt werden, wobei also im ganzen Bereiche der er 
laubten Wertepaare x, y 
|i-0 und f£-0 
dec oy 
sein soll. Sind a, b und a 1} b t zwei derartige Paare, so 
setzen wir zunächst y = h und lassen x von a bis a x variieren. 
Dabei ist fix, b) eine Funktion von x allein und wegen df: < x 
= 0 nach Satz 5, Nr. 29, konstant, so daß f(a, h) = f(a x , b) sein 
muß. Nunmehr setzen wir x = a x und lassen y von b bis b x 
variieren, wobei sich wegen cf: cy = 0 ebenso ergibt, daß 
f(a lt .b) = f(a i} bf) sein muß. Aus f(a, b) = f(a lt b) = f(a 1} bf) 
folgt also, daß die Funktion f an der Stelle («, b) denselben 
Wert wie an der Stelle (a : , bf) hat. 
Aber hierbei ist noch ein Einwand zu machen: Es ist 
fraglich, ob der Variabilitätsbereich wirklich alle diejenigen 
Wertepaare enthält, die sich ergeben, wenn y — b gesetzt und 
x von a bis a 1 variiert wird, ebenso wie es fraglich ist, ob er 
wirklich alle diejenigen Wertepaare enthält, die sich ergeben, 
wenn x = gesetzt und y von b bis b 1 variiert wird. Ist dies 
nicht der Fall, so muß man passende im Bereiche enthaltene 
Wertepaare 
a , 6; a,b ; a , b ■ a , b ; . . . 
derart einschalten, daß erstens alle Wertepaare, für die y = b 
ist und x von a bis a variiert, im Bereiche enthalten sind, 
zweitens alle Wertepaare, für die x =» a ist und y von b bis 
V variiert, drittens alle Wertepaare, für die y = V ist und x 
von a bis a" variiert, usw. Genau dieselbe Schlußfolgerung 
liefert alsdann 
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