§ 4. Vollständige Differentiale 
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Also: 
Satz 12: Die Regeln für die Differentiation von Summen, 
Differenzen, Produkten, Quotienten und Potenzen von Funktionen 
einer einzigen Veränderlichen gelten entsprechend auch für Funk 
tionen von mehreren Veränderlichen, sobald man nur statt mit 
den Differentialquotienten mit den vollständigen Differentialen 
rechnet. 
76. Vollständige Differentiale höherer Ordnung. 
Das vollständige Differential 
(i) 
einer Funktion /'von n unabhängigen Veränderlichen x x , x 2 , ... x n 
ist ebenfalls eine Funktion von x x , x 2 , . . . x n (die außerdem 
willkürliche Konstanten dx t , dx 2 , ... dx n enthält), und daher 
können wir weiterhin das vollständige Differential von df 
bilden. Es heißt das vollständige Differential zweiter Ordnung 
von f, wird mit cPf bezeichnet und ist wieder eine Funktion 
von x x , x 2 , ... x n . Ihr vollständiges Differential heißt das 
vollständige Differential dritter Ordnung von f und wird mit 
d 5 f bezeichnet, usw. 
Um d^f zu berechnen, leiten wir aus (1) nach Satz 12 ab: 
Da nun für i = 1, 2, .. . n 
ist, folgt: 
cPf = fx x x x dxff + 2f XlX2 dx x dx2 + fx^dx 2 2 -\ b fx n x n dxj. 
Derselbe Ausdruck entsteht auch so: Man rechnet das Quadrat 
(fx 1 dx 1 + f Xl dx 2 -{ + fx n dxfff 
aus und ersetzt dann jedes Produkt f xi f xk durch die ent 
sprechende Ableitung zweiter Ordnung f xi x k - 
Dies erinnert an eine Bemerkung in Nr. 70. In der 
Tat spielen hier die Differentiale dx x , dx 2 , . . . dx n , die zwar 
beliebig, aber doch während der Differentiation konstant sind, 
dieselbe Rolle wie damals die Konstanten a xt a 2 , . . .. Genau 
8* [75,76