116 
Kap. III. Höhere Differentialquotienten usw. 
so wie dort finden wir durch Schluß von m auf m -f- 1 den 
dem Satze 5 jener Nummer entsprechenden 
Satz IS: Ist f eine Funktion von n unabhängigen Ver 
änderlichen x if x 2 , . . . x n , so kann man die Formel für das voll 
ständige Differential m ter Ordnung d m f von f so finden: Man 
berechnet die m te Potenz von 
df = fx 1 dXj L "}~ f Xl dx 2 + • • • + fx n dx n 
und ersetzt alsdann jedes darin vorkommende Produkt 
fljxjx; • • fx n (a + ß + y + • • • + v = m) 
von Ableitungen erster Ordnung durch die entsprechende Ab 
leitung m ter Ordnung 
QCt + ß+y+- -+Vf 
dx"dx^cx\ • • • dx' n 
Es muß aber betont werden, daß dies nicht mehr richtig 
ist, wenn x t , x 2 ,... x n nicht unabhängige Veränderliche sind 
Denn wäre z. B. x 2 eine Funktion u(xf) von x lf so wäre 
dx 2 = u(xf)dx l , d. h. das Differential dx 2 spielte nicht mehr 
die Rolle einer Konstante. 
Um den allgemeinsten Fall zu betrachten, der hier Vor 
kommen kann, nehmen wir an, es sei f eine Funktion von 
u lf w 2 , . . . u m ] dagegen seien u 1} u 2 , . . . u m keine unabhängigen 
Veränderlichen, sondern Funktionen von x l} x 2 , . . . x , und 
diese Größen x 1} x 2 , ... x n sollen wirklich unabhängig sein. 
Jetzt ist zwar nach Satz 11 in Nr. 75: 
df — fuydui + f u ßu 2 -f • • • + fu m du m , 
aber hierin ist allgemein: 
**-&<**+ &*i + - + i^ 
Wollen wir d 2 f bilden, so haben wir zu bedenken, daß nicht 
nur fnt /«*> • ■ • fu m j sondern auch du lf du 3 , . . . du m Funk 
tionen von x u x 2 , . . . x n sind. Also kommt: 
d'f ~ df Ui . du x + df u% . du 2 -j + df Um . du m 
+ U d \ + fu x d*u 2 +... + fu m dhi m . 
Man sieht, daß man hier zur Rechnungen gelangt, die nicht 
denen in N r. < 0, sondern denen in Nr. 68 entsprechen. 
76]