§ 1. Unabhängigkeit von Funktionen und Gleichungen. 119 
An die Spitze unserer Betrachtungen stellen wir nun die 
Definition: m Funktionen 
Vi = fi(? i, x n ), y 2 = f 2 (x t , x 9t ... x n ) 
• ' ■ Vm-fm( X l> • X n) 
von n unabhängigen Veränderlichen x x ,x 2 ,...x n heißen von 
einander unabhängig, wenn es Jeeine von allen Veränderlichen 
x lf x s ,...x n freie Gleichung zwischen y x , y 2 , . . . y m gibt, da 
gegen voneinander abhängig, wenn es mindestens eine derartige 
Gleichung gibt: 
F (yx, y*, • • • yJ = o, 
die also erfüllt sein müßte, sobald man darin für y x , y 2 , . ., y m 
die gegebenen Funktionen f x , f 2 , . . . f m von x x , x 2 ,. . . x n einsetzte, 
und zwar erfüllt durch alle diejenigen Wertsysteme x x , x 2 , . . . x n , 
für die edle m Funktionen f 1} f 2 ,. . . f m definiert sind. 
Es braucht kaum bemerkt zu werden, daß natürlich nur 
von solchen Gleichungen F = 0 die Rede ist, die nicht iden 
tisch bestehen wie z. B. y t — y x = 0 oder dgl. Mit anderen 
Worten: Die Gleichung F == 0, die im Falle der Abhängig 
keit vorhanden ist, muß mindestens eine der m Funktionen 
y x , y 2 , . . . y m wirklich enthalten, d. h. als Funktion der übrigen 
definieren. 
1. Beispiel: Zwei Funktionen y x = f x (pc) und y 2 = f 2 (x) 
von nur einer Veränderlichen sind stets voneinander abhängig. 
Denn wenn sie Konstanten a und b sind, bestehen zwei Glei 
chungen F — 0, nämlich y x — a = 0 und y 2 — b = 0. Sind sie 
nicht beide konstant, so enthalte die erste etwa x wirklich. 
Dann gibt es eine zu ihr inverse Funktion x = (p(yyf) % , setzen 
wir diese in die zweite für x ein, so folgt, daß zwischen y x 
und y 2 die Gleichung y 2 —fiispiyfi) = 0 besteht. 
2. Beispiel: Die beiden Funktionen von x x und x 2 : 
X. xV + xV 
y\ r f y2 r 2 — X 1 
sind voneinander abhängig, denn es ist: 
!/ 2 G/t 2 -l)-?A 2 ~l = 0. 
78. Umformung der Definition der Unabhängig 
keit von Funktionen. Wenn m Funktionen von n unab 
hängigen Veränderlichen x x , x 2 , . . . x n vorliegen: 
[77, 78