120 Kap. IV. Differentiation unentwickelter Funktionen 
(1) Vk — fk(%■ • • x n ) (k = 1,2,... in), 
kann es sein, daß x x , x 2 , ... x n nirgends in f x . f m 
wirklich auftreten, d. h. daß y x ,y 2 ,... y m Konstanten a 1 , a 2 ,... a m 
sind. Weil dann die Gleichungen y x — a x = 0,. . . y m — a m = 0 
bestehen, sind diese Funktionen voneinander abhängig. Tritt 
dieser extreme Fall nicht auf, so wird eine der Funktionen 
eine der unabhängigen Veränderlichen wirklich enthalten. Ohne 
Beschränkung der Allgemeinheit der Betrachtung dürfen wir 
annehmen, daß etwa x x wirklich vorkomme, und zwar etwa in 
der ersten Gleichung (1), so daß die Auflösung dieser Glei 
chung nach x x ergebe: 
(2) x x = (p x (y x , x 2 , x 3 ,... x n ). 
Setzen wir diesen Wert in die übrigen m — 1 Gleichungen (1) 
für x x ein, so werden y a , y 3 , . . . y m durch y x und x 2 ,x 3 ,. . .x H 
ausgedrückt. Kämen nun x 2 , x 3 , . . . x n in Wahrheit rechts 
nicht mehr vor, so hätten die neuen Gleichungen die Formen 
y* ^ F s(yi)> F m(y\)> d - h - die il wären voneinander 
abhängig. Ist dies nicht der Fall, so wird also etwa x 2 noch 
wirklich Vorkommen, sagen wir etwa in der ersten der m — 1 
Gleichungen. Dann sind y x und y. 2 gewiß voneinander unab 
hängig. Denn sonst bestände ja eine Gleichung zwischen y x 
und y 2 , die nicht frei von y 2 wäre (da y x =4= konst. ist), so daß 
y 2 eine Funktion von y x allein wäre und also die erste der 
m 1 durch die Substitution (2) hervorgehenden Gleichungen 
gegen die Voraussetzung doch frei von x 2 wäre. Die Auflösung 
dieser ersten der m — 1 Gleichungen nach x 2 möge nun ergeben: 
( 3 ) *8= VsiVn y*> - • -O- 
Dasselbe Schluß verfahren ist fortzusetzen: Nachdem wir 
in die Gleichungen (1) mit Ausnahme der ersten den Wert (2) 
von x x eingesetzt haben, führen wir in alle hervorgegangenen 
m — 1 Gleichungen mit Ausnahme der ersten noch den Wert (3) 
von x 2 ein, so daß sich y 3 , y x ,. .. y m durch y x , y 2 , x 3 , x 4 ,. . . x„ 
ausdrücken. Fallen x 3 , x 4 , .. . x n dabei ganz heraus, so sind y 3 , 
y±> • • • y m Funktionen von y x und y 2 allein, also mit anderen 
Worten y x ,y 2 , ... y m voneinander abhängig. Fällt dagegen z. B. 
x 3 nicht heraus, sondern bleibt x 3 rechts etwa in der ersten 
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